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2.1.2 求曲线的方程,一、坐标法和解析几何 1.坐标法:坐标法是指借助于_,通过研究方程的性质 间接地来研究曲线性质的方法. 2.解析几何:解析几何是指数学中用_研究几何图形 的知识形成的学科.,坐标系,坐标法,3.解析几何研究的主要问题: (1)曲线研究方程:根据已知条件,求出_. (2)方程研究曲线:通过曲线的方程,研究_. 思考:用坐标法研究解析几何问题的前提条件是什么? 提示:用坐标法研究解析几何问题时首先要建立适应的平面直角坐标系,这样,点有了坐标,曲线也就有了方程的形式.,表示曲线的方程,曲线的性质,二、求曲线方程的一般步骤,有序实数对(x,y),M|p(M),坐标,最简,曲线上,判断:(正确的打“”,错误的打“”) (1)在求曲线方程时,如果点有了坐标或曲线有了方程,则说明已经建立了平面直角坐标系.( ) (2)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.( ) (3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.( ),提示:(1)正确.点有了坐标或曲线有了方程是已经建系的标志. (2)错误.|x|=|y|化简的形式为y=x. (3)错误.一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,但是在求解、化简过程中极易产生增解或漏解,检验这一步骤是应该有的,故此说法不正确. 答案:(1) (2) (3),【知识点拨】 1.平面直角坐标系的选取原则 (1)以已知定点为原点. (2)以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴). (3)以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴),以已知线段的中点为原点. (4)以已知互相垂直的两定直线为坐标轴.,(5)如果曲线(或轨迹)有对称中心,通常以对称中心为原点. (6)如果曲线(或轨迹)有对称轴,通常以对称轴为坐标轴(x轴或y轴). (7)尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上,或者让尽量多的点在坐标轴上.,2.对求曲线方程的五个步骤的四点说明 (1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系,首先要建立适当的坐标系,坐标系建立得当,可使运算过程简单,所得的方程也较简单. (2)第二步是求方程的重要一环.要仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件,抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系,列出几何等式.此步骤也可以省略,而直接将几何条件用动点的坐标表示.,(3)在化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量避免“失解”或“增解”. (4)第五步的说明可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上,可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除.,3.对求曲线方程的三点说明 (1)求曲线方程时,由于建系的方法不同,求得的方程也不同. (2)一般地,求哪个点的运动轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y),而不设成(x0,y0)或(x1,y1). (3)化简方程时,一般将方程f(x,y)=0化成关于x,y的整式形式,并且要保证化简过程的恒等性.,类型 一 直接法求曲线方程 【典型例题】 1.已知动点M到A(2,0)的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍, 则点M的轨迹方程为 . 2.(2013珠海高二检测)已知点A(-2,0),B(2,0),直线AP与 直线BP相交于点P,它们的斜率之积为- ,求点P的轨迹方程.,【解题探究】1.从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐标系? 2.在什么情况下可用直接法求曲线的方程? 探究提示: 1.因题1中已知A(2,0),故不需要建立平面直角坐标系. 2.一般地,当动点满足的条件非常明显,可以很容易地建立条件等式,这时一般可采用直接法求曲线的方程.,【解析】1.设M(x,y).由题意,得 =2|x+1|, 化简得-3x2-12x+y2=0,即y2=3x2+12x. 答案:y2=3x2+12x 2.设点P(x,y), 直线AP的斜率kAP= (x-2), 直线BP的斜率kBP= (x2), 根据已知,有: (x2), 化简得: +y2=1(x2).,【拓展提升】 1.直接法求点的轨迹方程的两个关键 关键一:建立恰当的平面直角坐标系. 关键二:找到所求动点满足的关系式.,2.“轨迹方程”与“轨迹”的辨析,【变式训练】已知点M到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍,求点M的轨迹方程. 【解析】设动点M的坐标为(x,y),则点M到x轴、y轴的距离分别为|y|,|x|.由题意知 |y|=2|x|,整理得y=2x. 点M的轨迹方程为y=2x.,类型 二 代入法求曲线的方程 【典型例题】 1.设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,则所作弦的中点的轨迹方程是 . 2.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.,【解题探究】1.若已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段P1P2中点P的坐标是什么? 2.题2哪些点的坐标已知,哪些点满足已知曲线的方徎,借助什么方法可用这些点表示点P的坐标? 探究提示: 1.据中点坐标公式知中点P的坐标为( ). 2.从题目的已知条件可知,点M与点O的坐标已知,点N满足已知曲线的方程,可借助中点坐标公式,OP的中点坐标与MN的中点坐标相同表示出点P的坐标.,【解析】1.设OQ为过O的一条弦,P(x,y)为其中点, Q(x1,y1), 则 又(x1-1)2+y12=1,(2x-1)2+4y2=1(0x1). 答案:(2x-1)2+4y2=1(0x1),2.如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为 ( ),线段MN的中点坐标为( ). 因为平行四边形的对角线互相平分,所以 从而 由N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求P点的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点:( )和( ).,【互动探究】若把题2中MN的中点记为Q,试求点Q的轨迹方程. 【解题指南】采用代入法求解. 【解析】设Q(x,y),N(x0,y0) 则 由N在圆x2+y2=4上运动, (2x+3)2+(2y-4)2=4. 故点Q的轨迹方程为(x+ )2+(y-2)2=1.,【拓展提升】 1.适合用代入法(相关点法)求轨迹方程的动点的特点 (1)特点:动点随另一点动而动. (2)解释:如果动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0),点Q动则P动,而点Q又在某已知曲线上,这种情况下可采用代入法(相关点法),点Q为相关点.,2.代入法求曲线方程的步骤,【变式训练】已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程是 .,【解析】设M(x,y),B(x0,y0). 由题意知 B在曲线y=2x2+1上, 2y+1=2(2x)2+1. 即y=4x2.这就是点M的轨迹方程. 答案:y=4x2,类型 三 定义法求轨迹方程 【典型例题】 1.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,APB=60,则动点P的轨迹方程为 . 2.在RtABC中,|AB|=2a(a0),求直角顶点C的轨迹方程. 【解题探究】1.过圆外一点向圆引两切线,切线长的关系是什么? 2.到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么?,探究提示: 1.从圆外一点引圆的两条切线,则切线长相等. 2.到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,以定长为半径的圆. 【解析】1.如图.|PA|=|PB|,连接PO. 则OPB=30.|OB|=1. |PO|=2. P点的轨迹是以O为圆心以2为半径的圆,即x2+y2=4. 答案:x2+y2=4,2.如图,以AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直 平分线为y轴建立直角坐标系,则A(-a,0), B(a,0). 设C(x,y)是平面内的任意一点,连接CO,则由 直角三角形的性质知:|OC|= |AB|= 2a=a. 因而点C的轨迹是以坐标原点为圆心,以a为半径的圆(除去与x轴的交点),其轨迹方程为x2+y2=a2(xa).,【拓展提升】 1.适用定义法求轨迹的特点 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依据定义写出轨迹方程. 2.定义法求轨迹方程的策略 (1)要熟悉各种常见的曲线的定义. (2)要善于利用数形结合的方法,利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系. (3)根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程.,【变式训练】长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动,求线段AB的中点M的轨迹方程. 【解题指南】根据直角三角形的性质可知,斜边上的中线等于斜边的一半,则点M到一定点的距离等于定长,由此可知点M的轨迹是圆,建立适当的坐标系即可求得其方程.,【解析】如图,以这两条直线为坐标轴,建立直角坐标系, 设M(x,y). 由题意知,|OM|= |AB|=1, 点M的轨迹是以O为圆心,1为半径的圆, 点M的轨迹方程是x2+y2=1.,参数法求曲线方程 【典型例题】 1.动点P(x,y)满足 (t为参数),则点P的轨迹方程为 . 2.在平面直角坐标系中,O为原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足 其中tR,则点C的轨迹方程 是 .,【解析】1. 由-得x2-y2=4. 点P的轨迹方程为x2-y2=4. 答案:x2-y2=4,2.设C(x,y), (x,y)=(1,0)+t(1,2), 消去t得2x-y-2=0, 故点C的轨迹方程为2x-y-2=0. 答案:2x-y-2=0,【拓展提升】参数法的定义及消参法 (1)参数法的定义 求曲线方程时,若x,y的关系不明显或难以寻找,可借助中间量(即参数)使x和y建立起联系,然后再从式子中消去参数得到曲线方程,这种方法叫做参数法求曲线的方程. (2)消去参数的常见方法 用参数表示动点坐标后,消参时可灵活应用式子的加、减、乘、除、平方等运算,最后注意参数的值对动点坐标范围的限制.,【规范解答】直接法在求点的轨迹中的应用,【典例】,【条件分析】,【规范解答】如图,过M作圆的切线MN,N为切点,设M(x,y). 由题意知|MN|=|MQ|+|ON|.3分 由于|MN|= ， |MQ|= |ON|=1，, (1)6分 两边平方整理得2x-3= (2) 再两边平方整理得3x2-y2-8x+5=0. (3) 即:9(x- )2-3y2=1. 10分 2x-3= 中2x-30 ,x 点M的轨迹方程为9(x- )2-3y2=1(x ) 12分,【失分警示】,【防范措施】 1.数形结合的意识 在解决平面几何问题时,要注意数形结合思想的使用,如本例中切线长的表示. 2.隐含条件的挖掘 在对方程的化简整理过程中要注意隐含条件的挖掘,确保变形 的每步都为恒等变形,如本例中的限制条件x .,【类题试解】已知ABC的周长为18,|AB|=8,求顶点C的轨迹 方程.,【解析】以线段AB的中点O为原点,线段AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图所示. |AB|=8,A(-4,0),B(4,0). 设C(x,y),则|AC|+|BC|=10, 整理,得9x2+25y2=225. 点C不在x轴上,y0,顶点C的轨迹方程为9x2+25y2=225(y0).,1.已知点A(-1,0),B(1,0),动点P(x,y)满足 则点P的轨迹方程是( ) A.x+y2=1 B.x-y2=1 C.x2+y2=1 D.x2-y2=1 【解析】选C.由题意得 =(-1-x,-y), =(1-x,-y), 由 得(-1-x)(1-x)+(-y)2=0.即x2+y2=1.,2.到A(2,-3)和B(4,-1)的距离相等的点M的轨迹方程是( ) A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=0 【解析】选C.设动点M(x,y).由|MA|=|MB|得 整理得x+y-1=0.,3.直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程 是( ) A.|x|-|y|=1 B.|x-y|=1 C.|x|-|y|=1 D.|xy|=1 【解析】选C.设动点(x,y),由题意知|x|-|y|=1或|y|-|x|=1,即|x|-|y|=1.,4.点P是曲线2x2+y2=2上的动点,O为坐标原点,M是OP的中点,则点M的轨迹方程是 . 【解析】设M(x,y),P(x0,y0),则x0=2x,y0=2y. 点P在2x2+y2=2上,2x02+y02=2,代入整理得4x2+2y2=1. 答案:4x2+2y2=1,5.已知两点A(-2,0),B(6,0),ABC的面积为16,则C点的轨迹方程为 . 【解析】A,B两点都在x轴上,ABC的面积为16, |AB|h=16,解得h=4. 点C在平行于x轴且与x轴距离为4的直线上,即轨迹方程为y=4. 答案:y=4,6.已知ABC的两个顶点坐标分别为A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动.求ABC的重心的轨迹方程. 【解析】设重心坐标为(x,y),顶点C(x0,y0), 依题意有 解得 因为点C在y=3x2-1上移动,所以y0=3x02-1. 将代入,得y=9x2+12x+3,即为重心的轨迹方程.,
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