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第八节 曲线与方程,最新考纲展示 1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程,一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：,那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线,二、求动点的轨迹方程的基本步骤,三、曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组 的实数解，若此方程组无解，则两曲线 ,无交点,1曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围) 2求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响,一、曲线与方程 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件( ),(3)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线( ) 答案：(1) (2) (3),答案：D,二、曲线的轨迹方程 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.( ) (2)两条动直线yxb，y2xb(bR)交点的轨迹方程是3x2y0.( ),答案：(1) (2) (3),答案：y28x,例1 (1)方程(xy)2(xy1)20表示的是( ) A一条直线和一条双曲线 B两条双曲线 C两个点 D以上答案都不对 (2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( ) AABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方程是x2 B方程yx2(x0)的曲线是抛物线,曲线与方程的概念(自主探究),D第一、三象限角平分线的方程是yx,(3) (2015年东营模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系xOy上的点P(2xy，x2y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P的轨迹是( ),答案 (1)C (2)D (3)D 规律方法 此类问题关键是判定曲线上的点与方程的实数是否具有一一对应的关系,(1)求的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围,曲线的交点问题(师生共研),规律方法 两条曲线有交点的充要条件是表示两条曲线的方程联立所得的方程组有实数解，方程组解的个数就是两条曲线交点的个数因此，讨论曲线的交点问题，就是讨论方程组有无实数解的问题,考情分析 求曲线的轨迹方程是高考的常考题型，考查轨迹方程的求法，以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质，着重考查分析问题解决问题的能力，数形结合思想，分类讨论思想等归纳起来常见的命题角度有： (1)直接法求轨迹方程 (2)定义法求轨迹方程 (3)相关点法(代入法)求轨迹方程 (4)参数法求轨迹方程,求曲线的轨迹方程(高频研析),答案：A,角度二 定义法求轨迹方程 2(2013年高考新课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.,解析：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.,(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.,(1)求点N的轨迹方程； (2)过点A(0,3)作斜率分别为k1，k2的直线l1，l2与点N的轨迹分别交于E，F两点，k1k29.求证：直线EF过定点,规律方法 (1)求轨迹方程时，要注意检验曲线上的点与方程的解是否为一一对应的关系，若不是，则应对方程加上一定的限制条件，检验可以从以下两个方面进行：一是方程的化简是否为同解变形；二是是否符合题目的实际意义 (2)求轨迹问题常用的数学思想： 函数与方程的思想：求平面曲线的轨迹方程是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程及函数关系 数形结合的思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合 等价转化的思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化,(3)求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0. 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程 参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.,
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