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最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定 理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌 握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数 量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂 直.,第5讲 空间向量及其运算,1空间向量的有关概念,知 识 梳 理,0,1,相同,相反,相等,平行或重合,平面,2. 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)， ab的充要条件是存在实数，使得a_ (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向 量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使p _ (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p _，把a，b，c叫做空间的一个基底,b,xayb,xaybzc,3空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则_叫做向量a，b的数量积，记作_，即ab_,a，b,0a，b,互相垂直,|a|b|cosa，b,ab,|a|b|cosa，b,(2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)b_； 交换律：ab_； 分配律：a(bc)_,(ab),ba,abac,4空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3,a1b1a2b2a3b30,1判断正误(请在括号中打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)空间中任意两非零向量a，b共面 ( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 ( ),诊 断 自 测,答案 A,3有下列命题： 若pxayb，则p与a，b共面； 若p与a，b共面，则pxayb； 其中真命题的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4,答案 B,答案 C,5(人教A选修21P98A3改编)正四面体ABCD棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为_,考点一 空间向量的线性运算,(2)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和,考点二 共线定理、共面定理的应用 【例2】 已知E，F，G，H分别是空间 四边形ABCD的边AB，BC，CD， DA的中点，用向量方法求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)BD平面EFGH.,又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD平面EFGH.,考点三 空间向量数量积的应用 【例3】 如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a，点M，N 分别是AB，CD的中点 (1)求证：MNAB，MNCD； (2)求MN的长； (3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值,【训练3】 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.,思想方法 1利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础 2利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题 3利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题其中合理选取基底是优化运算的关键,易错防范 2求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.,
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