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第四章 几种重要的分布,4.1 二项分布 4.2 超几何分布 4.3 泊松分布 4.4 指数分布 4.6 正态分布,一、两点分布,2、数字特征,1、定义,4.1 二项分布,二、二项分布,1、定义,2、数字特征,例2、某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近6天内用水量正常的天数的分布。,解：设最近六天内用水量保持正常的天数为X。它服从二项分布，n=6, p=0.75。利用二项分布公式计算,解：X服从二项分布，n=10, p=0.2。利用二项分布公式计算,例3、10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为0.2。求同时停车数目X的分布。,例4、 一批产品的废品率为0.03，进行20次重复抽样（有放回）。求出现废品的频率为0.1的概率。,解：X表示20次中抽到废品的次数，服从二项分布，n=20, p=0.03。利用二项分布公式计算,3、二项分布的最可能值,例5、某批产品有80的一等品，对它们进行重复抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品数X的最可能值k，并用贝努利公式验证。,解：一等品数X服从二项分布，np+p=3.2+0.8=4， 所以k=3,4时PX=k最大。,n很大时，频率为概率的可能最大,证明：,例6、某人射击的命中率为0.8，今连续射击30次，计算命中率为 60的概率。,例9、计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取整数，假定每个加数的取整误差服从-0.5,0.5上的均匀分布，今有五个加数相加，计算它们中至少有三个加数的取整误差绝对值概率不超过0.3的概率。,例1：某班有学生20名，其中5名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X的分布。,例2：某班有学生20名，其中3名女同学，今从班上任选4名学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X的分布。,4.2 超几何分布,1、定义,2、数字特征,3、超几何分布与二项分布的关系,证明：,例3、一大批种子的发芽率为90，从中任取10粒，求 (1)播种后恰好有8粒发芽的概率。 (2)播种后不少于8粒发芽的概率。,解 设X为10粒种子中发芽的种子数目，服从超几何分布。但是N很大，n=10项对于N很小，可以认为X近似服从二项分布B（10，0.9）。,几何分布,1、定义,在无穷次贝努利试验中，事件 A 首次发生时所需要的试验次数X的分布。,2、数字特征,3、无记忆性,证明：,例1、 ( 离散随机等待时间) 每张彩票中奖概率 0.01，某人每次只买一张。 (1) 他买到第 k张才中奖的概率，(2) 买了 8 张都 没有中奖的概率。,解. 买到第一张中奖彩票需要的次数 X G (0.01 ),1、定义,2、数字特征,4.3 Poisson (泊松) 分布,3、泊松分布与二项分布的关系,定理说明，对于成功率为p的n重贝努利试验，只要n充分大，而p充分小，则其成功的次数X近似服从参数 的泊松分布。,例1、X服从poisson分布，EX=5，查表求P(X=2)，P(X=5)， P(X=20)。,一般当 n 20 ，p 0.05 时可以近似计算,例2、检查了100个零件上的疵点数，结果如表。用poisson分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较。,解:=140+271+262+203+74+35+36)/100=2,例3、一袋重量为500克的种子约10000粒，假设该袋种子的发芽率为98.5%，从中任取100粒进行试验，计算恰好有1粒没有发芽的概率。,解1：设100粒中未发芽的种子有X粒，服从超几何分布。N10000，N19850，n100，由于N很大，n100相对于N很小，X可用二项分布近似计算,解2：n100，p=0.015很小，X可用poisson分布近似计算,例4、设城市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布。据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的1/2。计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。,解:设随机变量X表示一年内因交通事故死亡的人数。要求泊松分布的参数。由题意，,4、Poisson分布的最可能值,超几何分布,超几何分布、二项分布、泊松分布的关系,只有两个互逆结果的 n 次独立重复试验,(n+1)p,二项分布 的逼近式,无穷次伯努利 试验中A首次 发生的试验次数,对含有两类元素的有限总体 进行不放回抽样时 某类元素个数的概率分布,在一定时间内出现在给定区域的随机质点的个数,一、均匀分布,定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为,1、定义,可描述在某区间上具有等可能 结果的随机试验,4.4 指数分布,2、分布函数,3、数字特征,二、指数分布,1、定义,定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为,其中 0为常数，,则称 X 服从参数为 的指数分布，,记为 Xe( ).,可描述两次事件发生的时间间隔,2、分布函数,3、数字特征,例1、某元件寿命X服从参数为1/1000的指数分布。三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率。,各元件寿命相互独立。因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为 。,4、无记忆性,若 X e(),则,证明：,命题,故又把指数分布称为“永远年轻”的分布,解 X e(0. 05),(1) P(10 X 20),例2、 从某项寿命试验的数据中知，寿命 X 服从参数为0.05 的指数分布，,(1) 求 P(10 80|X 50);, 事件 X 80X 50，, P(X 80|X 50),即有, - 0.05 x ln 0. 1 ，,(2) P( X x ) 0.1，,(2) 如果要使概率 P( X x ) 0.1 , 则 x 取值应在什么范围内？,1、定义,定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为,则称 X 服从参数为 和 的正态分布，,其中 - 0 为常数，,记为 XN( , 2 ).,4.6 正态分布,正态分布是概率论中最重要的分布。,自然界大量的随机现象近似服从正态，如： 测量误差，生物特征数据，农作物的产量， 工业产品的质量指标，气象数据等等；,一般的，如果某个数量指标受到大量的随机因素的影响，每一个因素所起的作用又很小，则这个数量指标就近似服从正态分布。,概率论中的很多重要分布都与正态分布有关。,(1) 密度函数关于 x = 对称；,(2) 图形在x轴上方且密度函数在 x = 处达到最大值；,两头小，中间大 大多数现象的正常状态，即极端的总是少数。,正态分布密度函数的重要性质,(3) 密度函数在 x = 处有拐点；,(4) x轴是密度函数的水平渐近线；,(5) 是位置参数， 是形状参数,如果固定 而改变 ，密度函数位置改变，沿 ox 轴平移，但是形状不变； 反之，如果固定 而改变 ，密度函数的位置不改变，但形状将随 的增加而变平坦，随 的减小而变陡峭 。,说明固定 时，对于同样长度的区间，当参数 越大时，X 落在这个区间里的概率将越小，而当参数 越小时，X 落在这个区间里的概率将越大。,2、数字特征,= 2.,3、分布函数,4、标准正态分布,5、一般正态分布与标准正态分布的关系,证明：,定理：,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,只需查标准正态分布的分布表，就可以解决正态分布的概率计算问题.,例4、设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6).,解,解一：,解二 图解法,0.2,由图知,例6 (3 原理),解,一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小,由3 原理知，,例7、 设测量的误差 X N(7.5,100)(单位:米)，问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9 ?,解：,设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米。,故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.,1、定义,2、数字特征,3、特殊情形,证明：,二元正态分布,两个重要的连续型随机变量的分布,描述在某区间上 具有等可能结果 的随机试验,描述影响某一数量指标的 随机因素很多，每一因素 独立，但每个因素所起 作用不大的随机试验,描述电子产品或动物寿命的分布, 各种随机服务系统的服务时间、等待时间等,X 在区间(a, b)上取值, 且取值 在(a, b)中任意小区间内的概率 仅与小区间的长度成正比,随机变量 X 分布函数,离散型 连续型, 分布列 密度函数,复习,其图形是右连续的阶梯曲线,其图形是连续曲线,f (x),常见的分布,离散型 连续型,两点分布、二项分布、泊松分布 超几何分布、几何分布,特征,非负 规范,至此，我们已介绍了两类重要的随机变量:,全部可能的取值 取值的概率分布,是判定一个函数是否为某随机变量X 的分布列或密度的充要条件.,F(X)= P(X x),均匀分布、指数分布、正态分布、 分布,B(n, p),(01),U(a, b),e( ),p pq np npq,P( ), 2,N(, 2),体现了随机变量数字特征的重要性,常用随机变量的期望与方差,可 以 互 相 确 定,均和参数关联,
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