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1,5.3 实对称矩阵的对角化,一、内积的定义及性质,二、向量的长度及性质,三、正交向量组的概念及求法,四、正交矩阵,五、对称矩阵的性质,六、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,七、小结,Page 2,定义1,内积,一、内积的定义及性质,Page 3,说明,1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义,Page 4,内积的运算性质,Page 5,定义2,令,向量的长度具有下述性质：,二、向量的长度及性质,单位向量,Page 6, 正交的概念, 正交向量组的概念,正交,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组,三、正交向量组的概念及求法,Page 7,证明, 正交向量组的性质,Page 8,4 规范正交基,Page 9,例如,Page 10,同理可知,Page 11,（1）正交化，取 ，,5 求规范正交基的方法,Page 12,（2）单位化，取,Page 13,解 先正交化，,取,施密特正交化过程,Page 14,再单位化，,得规范正交向量组如下,Page 15,例2,解,Page 16,把基础解系正交化，即合所求亦即取,Page 17,为正交矩阵的充要条件是 的列向量和 行向量都是标准（规范）正交基,证明,定义4,定理2,四、正交矩阵,Page 18,Page 19,Page 20,定理3 对称矩阵的特征值为实数.,证明,五、对称矩阵的性质,说明：以下所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵,Page 21,于是有,两式相减，得,Page 22,定理3的意义,Page 23,证明,于是,Page 24,证明,它们的重数依次为,根据定理3（对称矩阵的特征值为实数）和定 理5( 如上)可得：,设 的互不相等的特征值为,Page 25,由定理4知对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,Page 26,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：,六、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法,2.,1.,Page 27,解,例3 对下列实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.,第一步 求 的特征值,Page 28,解之得基础解系,解之得基础解系,Page 29,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,Page 30,Page 31,1将一组极大无关组规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将极大无关组正交化， 然后再将其单位化,七、小结,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,Page 32,3. 对称矩阵的性质：,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值,4. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量正交化；(4)最后单位化,
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