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推广,一元函数微分学,二元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,二元函数微积分,一、区域,二、二元函数的概念,二元函数的基本概念,区域,平面上满足某个条件的一切点构成的集合。,平面点集：,平面区域：,由平面上一条或几条曲线所围成的部分平面点集称为平面区域，通常记作D。,0,1,边界,闭区域,开区域,0,0,型区域,型区域,常见区域,由,四条曲线围成,由,四条曲线围成,邻域:,0,1,二元函数的概念,一元函数,二元函数,定义域,自变量个数,一个：,两个：,在数轴上讨论 （区间）,在平面上讨论 （区域）,一、 偏导数概念及其计算,二 、高阶偏导数,偏导数,定义：,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,或 y 偏导数存在 ,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,(请自己写出),例1 . 求,解：,在点(1 , 2) 处的偏导数.,由偏导数的定义可以看出，要求二元函数对某个自变量的偏导数，只需将另一个自变量看做常量，然后利用一元函数求导公式和求导法则即可。,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,求证,偏导数记号是一个,例4. 已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,整体记号,练 习,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,解：,例6. 证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先求后代（把其他变量视为常数）,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,练 习,
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