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,4.7 正弦定理、余弦定理,第四章 三角函数、解三角形,数学 苏（理）,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.正弦、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2Rsin B,2Rsin C,sin Asin Bsin C,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在ABC中，AB必有sin Asin B.( ) (2)若满足条件C60，AB ，BCa的ABC有两个，那么a的取值范围是( ，2).( ) (3)若ABC中，acos Bbcos A，则ABC是等腰三角形.( ),(4)在ABC中，tan Aa2，tan Bb2，那么ABC是等腰三角形.( ) (5)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，三角形为直角三角形；当b2c2a20时，三角形为钝角三角形.( ) (6)在ABC中，AB ，AC1，B30，则ABC的面积等于 .( ),钝角,2,解析,方法二 因为bcos Cccos B2b， 所以sin Bcos Csin Ccos B2sin B， 故sin(BC)2sin B，,题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形,解析,思维升华,例1 (2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2， cos B . (1)求a，c的值；,解析,思维升华,解 由余弦定理得：,题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形,例1 (2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2， cos B . (1)求a，c的值；,解析,思维升华,ac9.,得ac3.,题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形,例1 (2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2， cos B . (1)求a，c的值；,解析,思维升华,(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.,题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形,例1 (2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2， cos B . (1)求a，c的值；,解析,思维升华,(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.,题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形,例1 (2013山东)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2， cos B . (1)求a，c的值；,解析,思维升华,例1 (2)求sin(AB)的值.,解析,思维升华,例1 (2)求sin(AB)的值.,解析,思维升华,例1 (2)求sin(AB)的值.,sin (AB)sin Acos Bcos Asin B,解析,思维升华,例1 (2)求sin(AB)的值.,解析,思维升华,(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.,例1 (2)求sin(AB)的值.,解析,思维升华,(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.,例1 (2)求sin(AB)的值.,跟踪训练1 (1)(2014天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bc a,2sin B3sin C，则cos A的值为 .,跟踪训练1 (1)(2014天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bc a,2sin B3sin C，则cos A的值为 .,(2)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A ，cos B ，b3，则c .,sin Csin(AB)sin(AB) sin Acos Bcos Asin B,(2)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A ，cos B ，b3，则c .,题型二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状,例2 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求角A的大小；,解析,思维升华,解析,思维升华,解 由2asin A(2bc) sin B(2cb)sin C， 得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，,0A180， A60.,题型二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状,例2 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求角A的大小；,解析,思维升华,(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是不是正三角,题型二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状,例2 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求角A的大小；,解析,思维升华,形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.,题型二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状,例2 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求角A的大小；,解析,思维升华,例2 (2)若sin Bsin C ，试判断ABC的形状.,解 ABC180，BC18060120.,解析,思维升华,例2 (2)若sin Bsin C ，试判断ABC的形状.,sin Bsin 120cos Bcos 120sin B .,解析,思维升华,例2 (2)若sin Bsin C ，试判断ABC的形状.,即sin(B30)1.,0B120，,30B30150. B3090,B60. ABC60， ABC为等边三角形.,解析,思维升华,(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是不是正三角,例2 (2)若sin Bsin C ，试判断ABC的形状.,解析,思维升华,形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.,例2 (2)若sin Bsin C ，试判断ABC的形状.,跟踪训练2 (1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 cos A，则ABC为 . 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 等边三角形,跟踪训练2 (1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 cos A，则ABC为 . 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 等边三角形,所以sin(AB)sin Bcos A， 即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0， 所以cos Bsin A0.,跟踪训练2 (1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 cos A，则ABC为 . 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 等边三角形,又sin A0，于是有cos B0， B为钝角，所以ABC是钝角三角形.,(2)在ABC中，cos2 (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 . 等边三角形 直角三角形 等腰三角形或直角三角形 等腰直角三角形,(1cos B)cac，,2a2a2c2b2， a2b2c2， ABC为直角三角形.,答案 ,解析,思维升华,解析,思维升华,解析,思维升华,由ab，得AB. 又AB(0，)，得,解析,思维升华,三角形面积公式的应用原则：,解析,思维升华,(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,解析,思维升华,例3 (2)若sin A ，求ABC的面积.,解析,思维升华,例3 (2)若sin A ，求ABC的面积.,由ac，得AC，,故sin Bsin(AC) sin Acos Ccos Asin C,解析,思维升华,例3 (2)若sin A ，求ABC的面积.,所以，ABC的面积为,解析,思维升华,例3 (2)若sin A ，求ABC的面积.,三角形面积公式的应用原则：,解析,思维升华,例3 (2)若sin A ，求ABC的面积.,(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,跟踪训练3 (1)(2013课标全国改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B ，C ，则ABC的面积为 .,跟踪训练3 (1)(2013课标全国改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B ，C ，则ABC的面积为 .,跟踪训练3 (1)(2013课标全国改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B ，C ，则ABC的面积为 .,易错警示系列6 三角变换不等价致误,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范.,易错警示系列6 三角变换不等价致误,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.,解 (a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)， b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)， 2sin Acos Bb22cos Asin Ba2， 即a2cos Asin Bb2sin Acos B.,易 错 分 析,温 馨 提 醒,规 范 解 答,易错警示系列6 三角变换不等价致误,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.,方法一 由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B， sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B， 又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B， sin 2Asin 2B.,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易错警示系列6 三角变换不等价致误,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.,在ABC中，02A2，02B2， 2A2B或2A2B，AB或AB . ABC为等腰三角形或直角三角形.,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易错警示系列6 三角变换不等价致误,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.,ABC为等腰三角形或直角三角形. 方法二 由正弦定理、余弦定理得：,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易错警示系列6 三角变换不等价致误,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.,a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)， (a2b2)(a2b2c2)0， a2b20或a2b2c20. 即ab或a2b2c2. ABC为等腰三角形或直角三角形.,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易错警示系列6 三角变换不等价致误,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.,(1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断； (2)在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况.,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易错警示系列6 三角变换不等价致误,典例：在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状.,方 法 与 技 巧,2.正弦、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正弦、余弦定理结合得sin2Asin2Bsin2C2sin Bsin C cos A，可以进行化简或证明.,3.在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解.,失 误 与 防 范,1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论.,2.利用正弦、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC .,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,2.在ABC中，AB12，sin C1，则abc .,3.(2013辽宁)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos A b，且ab，则B .,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,4.ABC中，AC ，BC2，B60，则BC边上的高为 .,解析 设ABa，则由AC2AB2BC22ABBCcos B知7a242a，即a22a30，a3(负值舍去).,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,4或5,2,3,4,5,6,9,10,1,7,8,8.(2014福建)在ABC中，A60，AC4，BC2 ，则ABC的面积等于 .,解析 如图所示，在ABC中，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,9.(2013北京)在ABC中，a3，b2 ，B2A. (1)求cos A的值；,解 在ABC中，由正弦定理,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,(2)求c的值.,则c28c150. c5或c3. 当c3时，ac，AC.,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,c3舍去.故c的值为5.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,由余弦定理，得a2c2b22accos B.,因为ac，所以a3，c2.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(2)cos(BC)的值.,因为abc，所以C为锐角，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,1,2,3,4,5,解析 由tan A2得sin A2cos A.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.(2014江苏)若ABC的内角满足sin A sin B2sin C，则cos C的最小值是 .,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.(2013浙江)在ABC中，C90，M是BC的中点.若sinBAM ，则sinBAC .,如图，在ABM中，利用正弦定理，,1,2,3,4,5,由题意知BMCM，,1,2,3,4,5,再结合sin2BACcos2BAC1，,1,2,3,4,5,解 因为A，B，C成等差数列， 所以2BAC，又ABC，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,所以f(x)的值域为2,2.,1,2,3,4,5,(2)求ABC的面积.,解 因为f(x)在xA处取得最大值，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
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