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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 选修1-1 1-2,推理与证明,第二章,人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要用几种颜色，才能把相邻的国家或不同的区域区分开来这个地图着色问题，是一个著名的数学难题，它曾经吸引了好几代优秀的数学家为之奋斗，并且从中获得了一个又一个杰出的成就，为数学的发展增添了光彩在地图上区分两个相邻的国家或地区，要用不同的颜色来涂这两个国家或区域显然，用两种颜色是区分不开的，不过有时三种颜色就够了A，B，C三国各用一色，D国和B国用同样的颜色还有另外一种情况，如果地图中的四个国家中任何两个都有公共边界，必须用四种颜色才能把它们区分开,于是，有的数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了正式提出地图着色问题的时间是1852年但这个问题迟迟未得到解决直到1976年9月，美国数学会通告宣布了一件震撼全球数学界消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的！他们将地图的四色问题化为2 000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1 200个小时，终于证明了四色问题 四色猜想经历了归纳、猜想等推理活动，最后获得了圆满证明同学们，你想知道推理与证明的有关知识吗？就让我们步入本章的学习吧！,2.1 合情推理与演绎推理,第二章,2.1.1 合情推理,1.能结合已学过的数学实例和生活中的实例，分析合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理 2会分析归纳推理与类比推理的联系与区别，体会并认识合情推理在数学发现中的作用,重点：理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理 难点：1.能运用合情推理进行简单推理 2认识合情推理在数学发现中的作用,思维导航 在以前的数学学习中，我们曾经由三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是3602180，凸五边形的内角和是5403180，归纳出结论：凸n(n3，nZ)边形的内角和是(n2)180. 这种猜想方法是否具有一般性，这样得出的结论是否一定是正确的？这种方法在认识发现中有何作用？,归纳推理,新知导学 1归纳推理 由某类事物的_具有某些特征，推出该类事物的_都具有这些特征的推理，或者由_概括出_的推理，称为归纳推理(简称归纳)简言之，归纳推理是由_到_、由_到_的推理 2金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为_,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,部分,整体,个别,一般,归纳推理,思维导航 在学习数列一章时，我们由等差数列an具有性质：“已知n、mN*，若nm2p，则anam2ap”，作出猜想：“对于等比数列an，若n、mN*，nm2p，则amana”，这种猜想方法是否具有一般性？这样猜想出的结论是否一定是正确的？它在数学发现中具有什么作用？,类比推理,新知导学 3类比推理 由两类对象具有_和其中一类对象的_，推出另一类对象也具有_的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由_的推理 4合情推理 归纳推理和类比推理都是根据_，经过_，再进行_、_，然后提出_的推理我们把它们称为合情推理通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理,某些类似特征,某些已知特征,这些特征,特殊到特殊,已有的事实,观察、分析、比较、联想,归纳,类比,猜想,5归纳推理是由部分到_，由具体到_，由特殊到_，从个别事实中概括出_的思维模式 类比推理是在_的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在_之处的一种推理模式 类比推理是由_到_的推理,整体,抽象,一般,一般结论,两类不同,相同或相似,特殊,特殊,牛刀小试 3鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的该过程体现了( ) A归纳推理 B类比推理 C没有推理 D以上说法都不对 答案 B 解析 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理,答案 D 解析 根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，20144503余2，故从2014到2016与从2到4的方向一致，故选D,5观察下列等式 11 2349 3456725 4567891049 照此规律，第五个等式应为_. 答案 567891011121381,解析 第1个等式有1项，从1开始； 第2个等式有3项，从2开始； 第3个等式有5项，从3开始； 第4个等式有7项，从4开始 每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为567891011121381.,观察以下各等式：,数与式的归纳,分析 观察三个等式的左右两边的特点，包括三角函数名称及角的大小的规律，写出反映一般规律的等式，最后对其进行证明,方法规律总结 1.归纳推理的一般步骤 (1)观察：通过观察个别事物发现某些相同性质 (2)概括、归纳：从已知的相同性质中概括、归纳出一个明确表述的一般性命题 (3)猜测一般性结论,2归纳推理的基本逻辑形式是： S1是(或不是或具有性质)P， S2是(或不是或具有性质)P， S3是(或不是或具有性质)P， Sn是(或不是或具有性质)P. S1、S2、S3、，Sn是S类的对象，所有S都是(或都不是或都具有性质)P.,2由已知数、式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律 (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征 (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点 (4)运用归纳推理得出一般结论,下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：,数列中的归纳推理,分析 要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩常用方法是对比自然数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找关系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律，等等 解析 (1)考察相邻两数的差： 514,954， 1394,17134， 可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17421.,方法规律总结 由数列的递推公式容易写出数列的前n项，观察数列的项与序号之间的关系，分析特点发现规律，猜想其通项公式，然后再给予证明是解答数列问题常用的方法,若an12an1(n1,2,3，)且a11. (1)求a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an. 解析 (1)由已知a11，an12an1，得 a23221， a37231， a415241， a531251. (2)归纳猜想，得an2n1(nN*),如图，在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图，所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有_颗珠宝，第n件首饰上应有_颗珠宝,归纳推理在图形中的应用,分析 将图形问题转化为数列问题，利用归纳推理求解 解析 解法一：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,623,1535,2847,4559，归纳猜想第六件首饰上的珠宝颗数为61166，第n件首饰上的珠宝颗数为n(2n1)2n2n.,解法二：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,15,159,15913,1591317，则第六件首饰上的珠宝颗数为15913172166，即每件首饰上的珠宝颗数构成一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，并且第n件首饰有n项，故第n件首饰的珠宝颗数为159(4n3)2n2n. 答案 66 2n2n,方法规律总结 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是：,如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成： 通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有_根；第n个图形中，火柴棒有_根 答案 16 3n1,解析 数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7, 10,13，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n1)根,分析 解答本题的关键是确定好类比对象平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积,将命题的条件、结论类比推广,方法规律总结 类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性 (2)用一类事物的已知特征、性质去推测另一类事物具有类似的特征、性质，得出一个明确的命题(或猜想) (3)检验这个猜想 一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值,
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