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9.1 直线的倾斜角、斜率 与直线的方程,知识梳理,考点自测,1.直线的倾斜角 (1)定义:x轴 与直线 方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 . (2)倾斜角的范围为 . 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan ,倾斜角是 的直线没有斜率. (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为,正向,向上,0,0,),知识梳理,考点自测,3.直线方程的五种形式,y=kx+b,y-y0=k(x-x0),知识梳理,考点自测,特殊直线的方程 (1)直线过点P1(x1,y1),垂直于x轴的方程为x=x1; (2)直线过点P1(x1,y1),垂直于y轴的方程为y=y1; (3)y轴的方程为x=0; (4)x轴的方程为y=0.,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)直线的倾斜角越大,其斜率越大. ( ) (2)过点M(a,b),N(b,a)(ab)的直线的倾斜角是45. ( ) (3)若直线的斜率为tan ,则其倾斜角为. ( ) (4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示. ( ) (5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离. ( ),知识梳理,考点自测,D,3.如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C=0不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,C,知识梳理,考点自测,A,5.若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是 .,(-2,1),考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,直线的倾斜角与斜率,C,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考直线倾斜角和直线的斜率有怎样的关系? 解题心得直线的斜率与倾斜角的区别与联系,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,对点训练1(1)如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 ( ) A.k1k2k3 B.k3k1k2 C.k3k2k1 D.k1k3k2 (2)直线xsin +y+2=0的倾斜角的范围是( ),(3)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B( )为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 .,D,B,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,解析: (1)直线l1的倾斜角1是钝角,故k13,所以0k3k2,因此k1k3k2,故选D. (2)设倾斜角为,则有tan =-sin ,其中sin -1,1.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,求直线的方程 例2(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的方程为 . (2)若直线经过点A(- ,3),且倾斜角为直线 x+y+1=0的倾斜角的一半,则该直线的方程为 . (3)在ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为 .,x+2y+1=0或2x+5y=0,5x-2y-5=0,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考求直线方程时应注意什么? 解题心得1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件. 2.涉及截距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,对点训练2已知ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC边所在直线的方程; (2)BC边上中线AD所在直线的方程; (3)BC边的垂直平分线DE的方程.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,直线方程的应用(多考向) 考向1 与基本不等式相结合的最值问题 例3若直线 (a0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5,C,思考在求a+b的最小值时运用了什么数学方法?,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考向2 与函数的导数的几何意义相结合的问题,A,思考直线方程与函数的导数的几何意义相结合的问题常见解法是什么?,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考向3 与圆相结合的问题 例5(2017湖北武昌1月调研,文13)已知直线l将圆C:x2+y2+x-2y+1=0平分,且与直线x+2y+3=0垂直,则l的方程为 .,2x-y+2=0,思考直线方程与圆的方程相结合的问题常见解法是什么? 解题心得1.在求a+b的最小值时运用了“1”的代换的数学方法; 2.解决与函数导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题; 3.直线方程与圆的方程相结合的问题,一般是利用直线方程和圆的方程的图象找到它们的位置关系求解.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,D,3,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,1.涉及直线的倾斜角与斜率的转化问题,要想到k=tan ,必要时可结合正切函数的图象. 2.求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法,但在特定条件下,应考虑下面的设法: (1)已知直线的纵截距,常设方程的斜截式; (2)已知直线的横截距和纵截距,常设方程的截距式(截距均不为0); (3)已知直线的斜率和所过的定点,常设方程的点斜式,但如果只给出一个定点,一定不要遗漏斜率不存在的情况; (4)仅知道直线的横截距,常设方程形式:x=my+a(其中a是横截距,m是参数),注意此种设法不包含斜率为0的情况,且在圆锥曲线章节中经常使用.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,1.斜率公式 (x1x2)与两点的顺序无关,且两点的横坐标不相等,若题目中无明确两点的横坐标不相等,则要分类讨论. 2.设直线方程时,一定要弄清题目中的信息,不要凭空想,涉及特殊情况最好单独处理,然后处理常规情况.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,易错警示都是漏掉“过原点”惹的祸 典例求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程. 解(方法一)(1)当截距为0时,直线l过点(0,0),(2,3),考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,反思提升本题易出现的错误有: (1)直接设出截距式方程,而忘记过原点的情况; (2)利用点斜式方程形式而忘记分析直线斜率情况.,
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