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,第2节 圆与方程,基 础 梳 理,1圆的定义与方程 (1)圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆,(2)圆的方程,(xa)2(yb)2r2,(a，b),r,质疑探究1：圆的一般方程中为何限制D2E24F0?,2点A(x0，y0)与C的位置关系 (1)|AC|r点A在圆外(x0a)2(y0b)2r2.,3直线与圆的位置关系 把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程，其判别式为，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.位置关系列表如下：,5圆与圆的位置关系 O1、O2半径分别为r1、r2，d|O1O2|.,质疑探究2：两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？ 提示：两圆的方程作差消去二次项得到的关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在直线的方程,1直线xy10与圆(x1)2y21的位置关系是( ) A相切 B直线过圆心 C直线不过圆心，但与圆相交 D相离,解析：因为圆心(1,0)满足直线方程xy10，故直线过圆心，故选B. 答案：B,解析：由方程知x2y22mx2y3m50，由方程表示圆的条件得4m2412m200， 解得m1.故选D. 答案：D,4圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是_ 解析：圆O1的圆心为(1,0)，半径r11， 圆O2的圆心为(0,2)，半径r22， 则圆心距|O1O2|， r2r1|O1O2|r1r2， 两圆相交 答案：相交,考 点 突 破,求圆的方程,思维导引 (1)由圆过A、B两点得圆心在线段AB的中垂线上，结合已知即可求出圆心和半径；也可直接利用待定系数法求解(2)设出圆的一般方程，利用待定系数法求解，或者将圆在y轴上截得的线段长转化为圆心到直线的距离，从而根据(1)的求解思路求其方程,(1)求圆的方程，一般采用待定系数法 若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程 若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程 (2)在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在任一弦的垂直平分线上,即时突破1 求圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)的圆的方程 解：由已知得圆心在过点P且与l垂直的直线l上， 易得l：y(2)x3，整理得yx5， 又圆心在直线y4x上，,与圆有关的最值问题,例3 已知直线l：ykx1，圆C：(x1)2(y1)212. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短弦长 思维导引 (1)利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系进行证明；也可利用直线恒过的定点和圆的位置关系证明；(2)表示出弦长，然后求其最小值；也可直接利用圆的有关性质判断最值,直线与圆的位置关系,(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法 (2)解决直线与圆的位置关系的应用问题，常常借助几何性质结合数形结合思想解题 (3)若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交,即时突破3 m为何值时，直线2xym0与圆x2y25. (1)无公共点； (2)截得的弦长为2； (3)交点处两条半径互相垂直,例4 已知点M(3,1)，直线axy40及圆C：(x1)2(y2)24. (1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线axy40与圆相切，求a的值； (3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值,圆的切线与弦长问题,思维导引 (1)依据斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线的距离求直线的斜率；(2)直接利用圆心到直线的距离列方程求解；(3)利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离，从而构造含a的方程求解 解 (1)圆心C(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3. 由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切,求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线,例5 已知两圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450. (1)求证：圆C1和圆C2相交； (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长 思维导引 (1)比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得位置关系；(2)两圆方程相减即得公共弦方程，公共弦长仍要通过解直角三角形获得,圆与圆的位置关系,(1)两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；,忽视斜率不存在而致误 例题 已知圆C：(x1)2(y2)24，则过点P(1,1)的圆的切线方程为_ 分析：首先验证过P(1,1)斜率不存在的直线是否与圆相切，然后利用直线和圆相切的条件列出方程求解,易错提醒：求解过定点的直线问题，首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意，这是非常容易遗漏的问题在处理相关问题时，也可根据图形判断所求直线的条数，进而避免此类失误,
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