高考数学二轮复习专题四数列推理与证明第3讲数列的综合问题课件文.ppt

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第3讲 数列的综合问题,专题四 数列、推理与证明,热点分类突破,真题押题精练,热点一 利用Sn,an的关系式求an 1.数列an中,an与Sn的关系,2.求数列通项的常用方法 (1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式. (2)在已知数列an中,满足an1anf(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用累加法求数列的通项an. (3)在已知数列an中,满足 f(n),且f(1)f(2)f(n)可求,则可用 累乘法求数列的通项an. (4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).,例1 (2017运城模拟)正项数列an的前n项和为Sn,满足a 3an6Sn4. (1)求an的通项公式;,解答,即(an1an)(an1an3)0, an0,an1an0, an1an30,即an1an3.,an是以4为首项,以3为公差的等差数列, an43(n1)3n1.,解答,思维升华,(2)设bn2nan,求数列bn的前n项和Tn.,解 bn2nan(3n1)2n, 故Tn4217221023(3n1)2n, 2Tn4227231024(3n1)2n1, Tn42132232332n(3n1)2n1 213(222232n)(3n1)2n1,(3n2)2n14, Tn(3n2)2n14.,思维升华 给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.,解答,解 当n1时,a1S12, 由Sn2n12,得Sn12n2(n2), anSnSn12n12n2n (n2), 又a1也符合,an2n (nN*).,(2)求数列bn的前n项和Tn.,解答,热点二 数列与函数、不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题,不等关系或恒成立问题.,例2 设fn(x)xx2xn1,x0,nN,n2. (1)求fn(2);,解答,解 方法一 由题设fn(x)12xnxn1, 所以fn(2)122(n1)2n2n2n1, 则2fn(2)2222(n1)2n1n2n, 由得,fn(2)12222n1n2n,所以fn(2)(n1)2n1.,(n1)2n1.,证明,思维升华,证明 因为fn(0)10,,又fn(x)12xnxn10,,思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1)数列是一类特殊的函数,函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视. (2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件. (3)不等关系证明中进行适当的放缩.,证明,跟踪演练2 (2016届浙江省宁波市期末)已知数列an满足a12,an12(Snn1)(nN*),令bnan1. (1)求证:bn是等比数列;,证明 a12,a22(22)8, an12(Snn1)(nN*) an2(Sn1n)(n2), 两式相减,得an13an2(n2). 经检验,当n1时上式也成立, 即an13an2(n1). 所以an113(an1),即bn13bn,且b13. 故bn是等比数列.,(2)记数列nbn的前n项和为Tn,求Tn;,解答,解 由(1)得bn3n. Tn13232333n3n, 3Tn132233334n3n1, 两式相减,得 2Tn332333nn3n1,证明,热点三 数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型数列模型,弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型,它的首项是什么,项数是多少,然后转化为解数列问题.求解时,要明确目标,即搞清是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果.,例3 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M,M的价值在使用过程中逐年减少,从第二年到第六年,每年年初M的价值比上年年初减少10万元,从第七年开始,每年年初M的价值为上年年初的75%. (1)求第n年年初M的价值an的表达式;,解答,解 当n6时,数列an是首项为120,公差为10的等差数列,故an12010(n1)13010n, 当n7时,数列an从a6开始的项构成一个以a61306070为首项, 以 为公比的等比数列,,(2)设An ,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在 第n年年初对M更新,证明:必须在第九年年初对M更新.,证明,思维升华,证明 设Sn表示数列an的前n项和,由等差数列和等比数列的求和公式,得 当1n6时,Sn120n5n(n1),,当n7时,由于S6570,,因为an是递减数列,所以An是递减数列.,所以必须在第九年年初对M更新.,思维升华 常见数列应用题模型的求解方法 (1)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间n的总产值yN(1p)n. (2)银行储蓄复利公式:按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和ya(1r)n. (3)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为a元,每期的利率为r,存期为n,则本利和ya(1nr). (4)分期付款模型:a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b .,跟踪演练3 一弹性小球从100 m高处自由落下,每次着地后又跳回原来 高度的 再落下,设它第n次着地时,共经过了Sn,则当n2时,有 A.Sn的最小值为100 B.Sn的最大值为400 C.Sn500 D.Sn500,答案,解析,解析 第一次着地时,经过了100 m;,真题体验,1.(2016浙江)设数列an的前n项和为Sn.若S24,an12Sn1,nN*,则a1_,S5_.,1,答案,解析,1,2,121,1,2,当n2时,由已知可得 an12Sn1, an2Sn11, 由,得an1an2an,an13an,又a23a1, an是以a11为首项,以q3为公比的等比数列.,2.(2017山东)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1x23,x3x22. (1)求数列xn的通项公式;,解 设数列xn的公比为q.,1,2,所以3q25q20, 由已知得q0, 所以q2,x11. 因此数列xn的通项公式为xn2n1.,解答,(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),Pn1(xn1,n1)得到折线P1P2Pn1,求由该折线与直线y0,xx1,xxn1所围成的区域的面积Tn.,1,2,解答,解 过P1,P2,Pn1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn1. 由(1)得xn1xn2n2n12n1, 记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn,,1,2,所以Tnb1b2bn 321520721(2n1)2n3(2n1)2n2, 则2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1, 由,得,Tn321(2222n1)(2n1)2n1,1,2,押题预测,解答,押题依据 本题综合考查数列知识,考查反证法的数学方法及逻辑推理能力.,已知数列an的前n项和Sn满足关系式Snkan1,k为不等于0的常数. (1)试判断数列an是否为等比数列;,押题依据,解 若数列an是等比数列,则由n1得a1S1ka2,从而a2ka3. 又取n2得a1a2S2ka3, 于是a10,显然矛盾,故数列an不是等比数列.,解答,押题依据 本题综合考查数列知识,高考的热点问题,即数列与不等式的完美结合,其中将求数列前n项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起,考查了综合分析问题、解决问题的能力.,押题依据,从而Snan1. 当n2时,由Sn1an,得anSnSn1an1an,,即an12an,此时数列是首项为a2 、公比为2的等比数列.,从而其前n项和Sn2n2 (nN*).,解答,解 由得bnn2,,记C2121220n2n2, 则2C2120221n2n1,,即n2n900,因为nN*,故n9, 从而最小正整数n的值是10.,
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