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第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式,总纲目录,教材研读,1.同角三角函数的基本关系,考点突破,2.三角函数的诱导公式,考点二 三角函数的诱导公式,考点一 同角三角函数的基本关系式,考点三 三角函数式的化简与求值,1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: sin2+cos2=1 . (2)商数关系: =tan .,教材研读,2.三角函数的诱导公式 公式一:sin(+2k)=sin ,cos(+2k)= cos ,tan(+2k)=tan ,其中 kZ. 公式二:sin(+)= -sin ,cos(+)= -cos ,tan(+)=tan . 公式三:sin(-)= -sin ,cos(-)= cos ,tan(-)=-tan . 公式四:sin(-)=sin ,cos(-)= -cos ,tan(-)=-tan . 公式五:sin = cos ,cos = sin . 公式六:sin = cos ,cos = -sin .,1.sin(-600)的值为 ( ) A. B. C.1 D.,答案 A sin(-600)=sin(-720+120)=sin 120= .,A,2.在ABC中,若tan A=-2,则cos A= ( ) A. B.- C. D.-,答案 B 因为在ABC中,tan A=-2,所以A ,所以cos A=- =- =- ,故选B.,B,3.已知tan =2,则 的值为 .,答案,解析 tan =2, = = = .,4.(2017北京,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它 们的终边关于y轴对称.若sin = ,则sin = .,答案,解析 本题考查三角函数的诱导公式. 由角与角的终边关于y轴对称,可得=(2k+1)-,kZ,sin = ,sin =sin(2k+1)-=sin = .,5.已知sin +cos = , ,则sin -cos 的值为 .,-,2sin cos = ,(sin -cos )2=1-2sin cos =1- = ,可得sin -cos = .又 ,sin cos , sin -cos =- .,考点一 同角三角函数的基本关系式,考点突破,典例1 已知是三角形的内角,且sin +cos = . (1)求tan 的值; (2)把 用tan 表示出来,并求其值.,解析 (1)解法一: 联立 由得cos = -sin , 将其代入,整理得25sin2-5sin -12=0. 是三角形的内角,sin = ,cos =- , tan =- . 解法二:sin +cos = , (sin +cos )2= ,则1+2sin cos = ,2sin cos =- ,(sin -cos )2=1-2sin cos =1+ = . sin cos =- 0,cos 0. sin -cos = . 由 得 tan =- . (2) = = = .,tan =- , = = =- .,规律总结 (1)利用sin2+cos2=1可以实现角的正弦、余弦的互化,利用 =tan 可以实现角的弦切互化. (2)对于sin +cos ,sin cos ,sin -cos 这三个式子,利用(sin cos )2= 12sin cos ,可以知一求二. (3)注意对sin2+cos2=1的逆用及变形应用:1=sin2+cos2,sin2=1-cos2, cos2=1-sin2.,1-1 (2016北京朝阳期中)已知(0,),且cos =- ,则tan = ( ) A. B.- C. D.-,答案 D (0,),cos =- , sin = ,tan =- .故选D.,D,典例2 (1)已知sin = , ,则sin(+)等于 ( ) A. B.- C. D.-,考点二 三角函数的诱导公式,(2)若sin 是方程5x2-7x-6=0的根,则 = ( ) A. B. C. D.,1.巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的具有互余关系的角有 - 与 +, +与 -, +与 -等,常见的具有互补关系的角有 +与 -, +与 -等.,规律总结,2.用诱导公式化简求值,应遵循: (1)“负化正”,运用诱导公式将负角的三角函数化为正角的三角函数. (2)“大化小”,利用诱导公式将大于360的角的三角函数化为0到360 的角的三角函数. (3)“小化锐”,将大于90的角的三角函数化为0到90的角的三角函 数. (4)“锐求值”,得到0到90的角的三角函数后,若是特殊角,则可直接求 得,若是非特殊角,则可由计算器求得.,2-1 若cos =- ,则sin = .,答案,解析 - = ,- = - , cos =- , sin =sin =-sin =-cos = .,2-2 已知cos = ,则cos -sin2 的值为 .,答案 -,-,解析 因为cos =cos =-cos =- , sin2 =sin2 =sin2 =1-cos2 =1- = , 所以cos -sin2 =- - =- .,考点三 三角函数式的化简与求值,典例3 已知为第三象限角, f()= . (1)化简f(); (2)若cos = ,求f()的值.,解析 (1)f()= = =-cos . (2)cos = ,-sin = ,从而sin =- . 又为第三象限角,cos =- =- , f()= .,3-1 若f()= (kZ),则f(2 017)= .,答案 -1,解析 当k为偶数时,设k=2n(nZ),原式= = =-1; 当k为奇数时,设k=2n+1(nZ),原式= = =-1. 综上所述,当kZ时, f()=-1,故f(2 017)=-1.,-1,3-2 = .,答案 -1,解析 原式= = = =- =- =-1.,-1,
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