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第七节 正弦定理和余弦定理,总纲目录,教材研读,1.正弦定理和余弦定理,考点突破,2. 在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,3.三角形面积,考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状,考点一 利用正、余弦定理解三角形,考点三 与三角形面积有关的问题,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,上表中,若A为锐角,当absin A时无解;若A为钝角或直角,当ab时 无解.,3.三角形面积 设ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S. (1)S= ah(h为BC边上的高). (2)S= absin C= acsin B = bcsin A.,1.在ABC中,若a=2,c=4,B=60,则b等于 ( ) A.2 B.12 C.2 D.28,答案 A 由b2=a2+c2-2accos B,得b2=4+16-8=12,所以b=2 .,A,2.(2016北京西城二模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 sin(A+B)= ,a=3,c=4,则sin A= ( ) A. B. C. D.,答案 B 在ABC中,sin(A+B)= ,sin C= . a=3,c=4, 由 = 得 = . sin A= .,B,3.(2016北京朝阳一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 a cos B+bsin A=0,则B= ( ) A. B. C. D.,答案 C acos B+bsin A=0, 由正弦定理得 sin Acos B+sin Bsin A=0. 又A(0,),sin A0. cos B+sin B=0. tan B=- ,又B(0,),B= .,C,4.(2017北京海淀期中)在ABC中,cos A= ,7a=3b,则B= .,答案 或,解析 在ABC中,cos A= , sin A= = , 7a=3b, sin B= = = , B(0,), B= 或 . 故答案为 或 .,5.(2018北京海淀高三期末)在ABC中,a=1,b= ,且ABC的面积为 ,则c= .,答案 2或2,解析 由SABC= absin C= ,得sin C= ,则cos C= 或cos C=- .,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,得c=2或c=2 .,6.(2017北京西城期末)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=3,C= ,sin B=2sin A,则a= .,答案,考点突破,规律总结 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是 两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中 含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的 正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑 两个定理都有可能用到. (2)解题时注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.,1-1 (2018北京海淀期中)如图,ABD为正三角形,ACDB,AC=4, cosABC= . (1)求sinACB的值; (2)求AB,CD的长.,解析 (1)因为ABD为正三角形,ACDB, 所以在ABC中,BAC= , 所以ACB=- . 所以sinACB=sin =sin cosABC+cos sinABC. 因为在ABC中,cosABC= ,ABC(0,), 所以sinABC= . 所以sinACB= + = .,考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状,典例2 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B= asin A,则ABC的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,答案 B,解析 由已知及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)= sin2A,又sin(B+C)=sin A,sin A=1,A= .故选B.,B,方法技巧 (1)判断三角形的形状,应从三角形的边、角两方面进行思考,主要看其 是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角 形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的 区别. (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.,2-1 在ABC中,三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么ABC的形状为( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上均有可能,答案 A 由题意,可知ca,cb,即角C最大,所以a3+b3=aa2+bb20, 所以0C ,即ABC为锐角三角形.,A,典例3 (2017北京朝阳二模)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 abc, c-2bsin C=0. (1)求角B的大小; (2)若b= ,c=1,求a和ABC的面积.,考点三 与三角形面积有关的问题,解析 (1)因为 c-2bsin C=0, 所以 sin C-2sin Bsin C=0. 因为0bc,所以B= . (2)因为b= ,c=1,B= ,所以由余弦定理得( )2=a2+1-2a1 ,则a2-a-2=0, 解得a=2或a=-1(舍去). 所以a=2, SABC= acsin B= 21 = .,规律总结 (1)求三角形ABC的面积时,常用公式S= absin C= acsin B= bcsin A,一 般根据已知角具体选择. (2)解决与面积有关的问题,一般要用到正弦定理、余弦定理进行边和 角的转化.,3-1 (2016北京东城二模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2= 3bc. (1)若sin A=sin C,求cos A; (2)若A= ,且a=3,求ABC的面积.,解析 (1)由sin A=sin C,得a=c. 又a2=3bc,所以c=a=3b. 由余弦定理得cos A= = = . (2)已知a2=3bc,且a=3, 所以bc=3. 故ABC的面积S= bcsin A= 3 = .,3-2 (2018北京朝阳高三期中)已知ABC中,B= ,a= . (1)若b= ,求A; (2)若ABC的面积为 ,求b的值.,解析 (1)由正弦定理 = ,可得 = . 所以sin A= . 在三角形中,ba,所以A= . (2)由面积公式S= acsin B可得, = c , 解得c=3 .,由余弦定理知,b2=a2+c2-2accos B=2+18-6=14, 所以b= .,
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