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16.2 抛物线,高考数学,1.焦点弦:AB为抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)x1x2= ; (2)y1y2= -p2 ; (3)弦长l=x1+x2+p,x1+x22 =p,即当x1=x2时,弦长最短,为2p; (4)弦长l= (为AB的倾斜角). 2.AB为抛物线y2=2px(p0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),设直线 AB的斜率存在,且k0. (1)弦长l= |x1-x2|= |y1-y2|;,知识清单,(2)kAB= ; (3)直线AB的方程:y-y0= (x-x0); (4)线段AB的垂直平分线方程:y-y0=- (x-x0).,直线与抛物线的位置关系 有关直线与抛物线的位置关系的问题有两类:一是判断位置关系,二是 依据位置关系确定参数的范围.这两类问题的解决方法是一致的,都需 将直线方程与抛物线方程联立,利用判别式及根与系数的关系进行求 解.直线与抛物线相交时的弦长问题,可以利用弦长公式处理,若直线过 焦点,则可利用抛物线的定义处理. 例 (2016江苏姜堰联考,23,10分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F, 直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|= |PQ|. (1)求C的方程; (2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l1与C相交于M,N 两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.,方法技巧,解析 (1)设Q(x0,4),将Q点坐标代入y2=2px,得x0= ,所以|PQ|= , |QF|= +x0= + .由题设得 + = ,解得p=-2(舍去)或p=2,C的方 程为y2=4x. (2)由(1)知F(1,0). 由题设知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0),代入y2=4x 得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4, 故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|= |y1-y2|=4(m2+1),所以l1的方程 为x=- y+2m2+3. 将上式代入y2=4x,并整理得y2+ y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+,y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中点为E ,|MN|= |y3-y4|= . 由于MN垂直平分线段AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE| = |MN|,从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2.即4(m2+1)2+ + = ,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1,所以直线l的方程为x- y-1=0或x+y-1=0.,
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