资源描述
第三节 等比数列及其前n项和,总纲目录,教材研读,1.等比数列的定义,考点突破,2.等比数列的通项公式,3.等比中项,考点二 等比数列的性质及其应用,考点一 等比数列的基本运算,4.等比数列的常用性质,5.等比数列的前n项和公式,考点三 等比数列的判定与证明,1.等比数列的定义 如果一个数列从 第二项 起,每一项与前一项的比等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 公比 ,通常用字母 q 表示,定义的表达式为 =q(nN*).,教材研读,2.等比数列的通项公式 等比数列an的通项公式为an= a1qn-1 .,3.等比中项 若 G2=ab(ab0) ,那么G叫做a与b的等比中项.,4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am qn-m (n,mN*). (2)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 akal=aman . (3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0), , ,anbn, 仍是等比数列.,5.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn= na1 ; 当q1时,Sn= = .,6.等比数列前n项和的性质 公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数 列,其公比为 qn .,与等比数列有关的结论 (1)an=amqn-m,an+m=anqm=amqn(m,nN*). (2)a1a2a3am,am+1am+2a2m,a2m+1a2m+2a3m,成等比数列(mN*). (3)若等比数列的项数为2n(nN*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之 和为S偶,则 =q. (4)三个数成等比数列,通常设为 ,x,xq;四个数成等比数列,通常设为 , ,xq,xq3.,1.已知an是等比数列,a2=2,a5= ,则公比q=( ) A.- B.-2 C.2 D.,答案 D 由通项公式及已知得a1q=2,a1q4= ,由得q3= ,解得 q= .故选D.,D,2.已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an= ( ) A.4 B.4 C.4 D.4,答案 B 由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5, 故a1=4,a2=6,所以q= ,则an=4 .,B,3.在等比数列an中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11= ( ) A.10 B.25 C.50 D.75,答案 B a7a12=5,a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.,4.(2016北京丰台一模)已知等比数列an中a1=1,且 =8,那么S5 的值是 ( ) A.15 B.31 C.63 D.64,答案 B = = =q3=8, q=2. 又a1=1, S5= =31.,B,B,5.(2017北京海淀一模)已知等比数列an中,a2a4=a5,a4=8,则公比q= ,其前4项和S4= .,答案 2;15,解析 设等比数列an的公比为q. a2a4=a5,a4=8, 8a2=a2q3,q=2. a1=1,S4= =15.,6.(2017北京朝阳期中)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若a3=2,S4=5S2,则a1的值为 ,S4的值为 .,答案 ;,解析 当等比数列的公比等于1时,由a3=2,得S4=4a3=42=8,5S2=52a3=5 22=20,与题意不符. 设各项均为正数的等比数列的公比为q(q0且q1), 由a3=2,S4=5S2,得 整理得 解得 或 (舍). 则S4= = .,典例1 (2017北京,15,13分)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1 =1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求an的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+b2n-1.,考点一 等比数列的基本运算,考点突破,解析 本题考查等差数列及等比数列的通项公式,数列求和.考查运算 求解能力. (1)设等差数列an的公差为d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1. 从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1= .,方法指导 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”. (2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论, 当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1时,an的前n项和Sn= = .,1-1 (2016北京西城期末)已知数列an是等比数列,并且a1,a2+1,a3是公 差为-3的等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=a2n,记Sn为数列bn的前n项和,证明:Sn .,典例2 (1)(2015北京海淀期中)若等比数列an满足a1+a3=5,且公比q=2, 则a3+a5= ( ) A.10 B.13 C.20 D.25 (2)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ ln a20= . (3)设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3= .,考点二 等比数列的性质及其应用,答案 (1)C (2)50 (3)34,解析 (1)a3+a5=a1q2+a3q2=(a1+a3)q2=522=20. (2)因为等比数列an中,a10a11=a9a12, 所以由a10a11+a9a12=2e5, 可得a10a11=e5. 所以ln a1+ln a2+ln a20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5 =50. (3)由题意可知q-1,故由等比数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列, 于是(S6-S3)2=S3(S9-S6), 将S6= S3代入可得 = .,易错警示 (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别 是“若m+n=p+q(m、n、p、qN*),则aman=apaq”,可以减少运算量,提 高解题速度.(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提,有时需 要进行适当变形.此外,解题时注意对设而不求思想的运用.,2-1 已知x,y,zR,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为 ( ) A.-3 B.3 C.-3 D.3,答案 C 由题意知y2=3,y= ,又y与-1,-3符号相同,y=- ,又y2 =xz,所以xyz=y3=-3 .,C,2-2 记等比数列an的前n项积为Tn(nN*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1= 128,则m的值为 ( ) A.4 B.7 C.10 D.12,答案 A 因为an是等比数列,所以am-1am+1= ,故由am-1am+1-2am=0,可知 am=2(am=0舍去). 由等比数列的性质可知前(2m-1)项积T2m-1= ,22m-1=128,故m=4.,A,典例3 (2016北京西城二模)已知数列an的前n项和Sn满足4an-3Sn=2,其 中nN*. (1)求证:数列an为等比数列; (2)设bn= an-4n,求数列bn的前n项和Tn.,考点三 等比数列的判定与证明,方法技巧 证明数列an(各项不为零)是等比数列的常用方法:一是定义法,证明 =q(n2,q为非零常数);二是等比中项法,证明 =an-1an+1(n2).若判 定一个数列不是等比数列,则可以举反例,也可以用反证法.,3-1 (2017北京朝阳一模)已知数列an满足a1=1,an+1= an,设bn= , nN*. (1)证明:bn是等比数列; (2)求数列log2bn的前n项和Tn.,解析 (1)证明:由an+1= an,得 =2 . 因为bn= ,所以bn+1=2bn,即 =2. 又因为b1= =1, 所以数列bn是以1为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)可知bn=12n-1=2n-1, 所以log2bn=log22n-1=n-1. 则数列log2bn的前n项和Tn=0+1+2+3+(n-1)= .,
展开阅读全文