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,计数原理与概率、随机变量及其分布,第 九 章,第62讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布,栏目导航,1离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为,(1)均值 称E(X)_为随机变量X的均值或_，它反映了离散型随机变量取值的_,x1p1x2p2xipixnpn,数学期望,平均水平,平均偏离程度,标准差,aE(X)b,a2D(X),p,p(1p),np,np(1p),上方,x,x,1,当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着_的变化沿x轴平移，如图甲所示； 当一定时，曲线的形状由确定，_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示,越小,越大,(3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)_，则称随机变量X服从正态分布，记作_ (4)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 P(X)_； P(2X2)_； P(3X3)_.,XN(，2),0.682 6,0.954 4,0.997 4,1思维辨析(在括号内打“”或“”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量( ) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小( ) (4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.( ),A,3设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为( ) A1a,4 B1a,4a C1,4 D1,4a,A,5投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为_.,离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布列，然后利用均值、方差公式直接求解 (2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程，解方程即可求出参数值 (3)由已知条件，作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断,一 离散型随机变量的均值、方差,【例1】 (2018湖北部分重点中学起点考试)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店 (1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； (2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望,二 均值与方差的实际应用,随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定,【例3】 (2018山西太原模拟)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立 (1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系,若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？,(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元) 安装1台发电机的情形 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000. 安装2台发电机的情形 依题意，当40X80时，一台发电机运行， 此时Y5 0008004 200， 因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下： 所以E(Y)4 2000.210 0000.88 840.,安装3台发电机的情形 依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X80)p10.2；当80X120时，两台发电机运行，此时Y5 00028009 200， 因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；当X120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下： 所以E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台,三 正态分布的应用,解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率注意只有标准正态分布的对称轴才为x0.,【例4】 (2017全国卷改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2) (1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性； 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：,解析 (1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为0.002 6，故XB(16,0.002 6) 因而P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8. X的数学期望为E(X)160.002 60.041 6. (2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的,1在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在8085分的有17人试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人 附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.,又2801070，2801090， 成绩在(70,90内的同学占全班同学的95.44%. 成绩在(80,90内的同学占全班同学的47.72%. 成绩在90分以上的同学占全班同学的50%47.72%2.28%. 即有502.28%1(人)，故成绩在90分以上的同学仅有1人,3(2018湖北荆州中学质检)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销量的频率分布直方图，如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；,(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X),错因分析：求离散型随机变量的均值和方差时严格按照步骤来解，解答完后要注意查看解题中的关键点,易错点 求期望、方差时计算不准确以及解答不规范,
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