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6.2 等差数列,高考数学,1.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是 an=a1+ (n-1)d,nN* . 2.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d,其前n项和Sn= 或Sn= na1+ d .,知识清单,3.等差中项 如果 A= ,那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的有关性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,mN*). (2)若an为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 ak+al=am+an . (3)若an,bn是等差数列,则pan+qbn是 等差数列 . (4)若an是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为 md 的等差数列. (5)若Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2 m成 等差 数列.,(6)若an是等差数列,则 是 等差 数列,其首项与an首项相 同,公差是an公差的 . (7)非零等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为2n,则S偶-S奇= nd , = ; 若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇= n an,S奇-S偶= an , = . (8)两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间的关系为 = .,拓展延伸 1.由an=a1+(n-1)d得an=dn+(a1-d). 若d=0,则an=a1是常数函数; 若d0,则an是关于n的一次函数. 可见(n,an)是直线y=dx+(a1-d)上一群孤立的点. 2.由Sn=na1+ d得Sn= n2+ n. 令A= ,B=a1- ,则Sn=An2+Bn. 当A0,即d0时,Sn是关于n的二次函数,(n,Sn)是抛物线y=Ax2+Bx上一群,孤立的点,利用二次函数的性质可求an的前n项和Sn的最大值或最小 值.,利用等差数列的基本量a1,d解决等差数列问题 1.在等差数列an中,将an用a1,d表示出来,Sn也用a1,d表示出来. 2.解方程组求出a1,d的值. 3.由a1,d求结论. 例1 (1)(2016江苏淮海中学模拟)在等差数列an中,已知a3=5,a2+a5=12, an=4a4+1,则n= . (2)(2017苏北四市期中)设Sn是等差数列an的前n项和,且a2=3,S4=16,则S 9的值为 .,方法技巧,解析 (1)设数列an的公差为d.由已知得 即 所以a1=1,d=2. 所以a4=a1+3d=7,an=a1+(n-1)d=2n-1, 由an=2n-1=47+1=29得n=15. (2)设an的公差为d,由a2=3,S4=16得a1+d=3,4a1+6d=16a1=1,d=2, 所以S9=91+ 982=81.,答案 (1)15 (2)81,等差数列的判定与证明 1.证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种: (1)定义法:证明an+1-an是常数(nN*); (2)等差中项法:证明an+2+an=2an+1(nN*). 2.解填空题时,可用通项公式或前n项和公式直接判断. (1)通项法:an是等差数列an=An+B(A,B是常数); (2)前n项和法:an是等差数列Sn=An2+Bn(A,B是常数). 例2 (2017苏北四市期中)在数列an中,已知a1= ,an+1= an- ,nN*, 设Sn为an的前n项和. (1)求证:数列3nan是等差数列; (2)求Sn.,解析 (1)证明:因为an+1= an- ,所以3n+1an+1-3nan=-2, 又因为a1= ,所以31a1=1, 所以3nan是首项为1,公差为-2的等差数列. (2)由(1)知3nan=1+(n-1)(-2)=3-2n, 所以an=(3-2n) , 所以Sn=1 +(-1) +(-3) +(3-2n) , 所以 Sn=1 +(-1) +(5-2n) +(3-2n) , 两式相减得 Sn= -2 -(3-2n) = -2,+(2n-3) =2n , 所以Sn= .,求等差数列前n项和的最大值与最小值的方法 1.通项法:若a10,d0,则an递增,所有负项和最小. 若存在an=0,则Sn=Sn-1最大(或最小). 2.二次函数法:当Sn是关于n的二次函数时,由二次函数知识求最大(小) 值,解题时要注意nN*. 例3 已知an是一个等差数列,且a2=1,a5=-5. (1)求an的通项an; (2)求an的前n项和Sn的最大值.,解题导引 (1)由a2,a5求a1及公差 求an (2)求Sn 求Sn的最大值,解析 (1)设an的公差为d,由已知条件,得 解得a1=3,d=-2, 所以an=a1+(n-1)d=-2n+5. (2)Sn=na1+ d=-n2+4n=4-(n-2)2, 所以n=2时,Sn取得最大值4.,
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