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22.3 不等式选讲,高考数学,1.两实数大小比较的三种情况 设a、b为两个实数,它们在数轴上对应的点分别记为A、B.若A落在B的 右边,则称a大于b,记为ab;若A落在B的左边,则称a小于b,记为abbb,bcac. (3)aba+cb+c. (4)ab,c0acbc;ab,cb0anbn,其中n为正整数,且n2.,知识清单,(6)ab0 ,其中n为正整数,且n2. (7)ab,cda+cb+d. (本性质说明两个同向不等式相加,所得的不等式和原不等式同向) (8)ab0,cd0acbd. (本性质说明两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得的不等式 和原不等式同向) 3.基本不等式 定理1:设a、bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理2:若a、b为正数,则 ,当且仅当a=b时,等号成立. 我们称 为正数a、b的 算术平均 , 为正数a、b的几何平均 ,因而可用语言叙述为:两个正数的算术平均大于或等于它们的 几何平均. 定理3:若a、b、c为正数,则 ,当且仅当a=b=c时,等号成立. 定理4:(一般形式的算术几何平均不等式)若a1、a2、an为n个正数, 则 ,当且仅当a1=a2=an时,等号成立. 4.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|c、|ax+b|c型不等式的解法: c0,则|ax+b|c的解集为-cax+bc,|ax+b|c的解集为ax+bc或ax+ b-c,然后根据a、b的值解出即可. c0,则|ax+b|c的解集为,|ax+b|c的解集为R.,(2)解|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c型不等式的一般步骤: a.令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根. b.把这些根由小到大排序,它们把实数轴分为若干个区间. c.分别在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不 等式在这个区间上的解集. d.这些解集的并集就是原不等式的解集. 5.含绝对值的三角不等式 定理1:若a、b为实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. 定理2:若a、b、c为实数,则|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等 号成立. 推论1:|a|-|b|a+b|.,推论2:|a|-|b|a-b|. 6.不等式证明的基本方法 (1)比较法;(2)综合法与分析法;(3)反证法和放缩法. 拓展延伸 柯西不等式的有关定理: 定理1:(二维形式的柯西不等式)设a1、a2、b1、b2均为实数,则( + )( + )(a1b1+a2b2)2.上式等号成立a1b2=a2b1. 定理2:(柯西不等式的向量形式)设、为平面上的两个向量,则| |,当且仅当是零向量,或存在实数k,使=k时,等号成立. 定理3:设a1、a2、b1、b2为实数,则 + ,等号成立存在非负实数及,使得a1=b1,a2=b2.,定理4:(平面三角不等式)设a1、a2、b1、b2、c1、c2为实数, + ,且等号 成立存在非负实数及使得(a1-b1)=(b1-c1),(a2-b2)=(b2-c2). 定理5:设、为平面向量, 则|-|+|-|-|.,当-、-为非零向量时,上面不等式中等号成立存在正数,使得 -=(-)向量-与-同向,即夹角为零. 定理6:(柯西不等式的一般形式)设a1、a2、an、b1、b2、bn为实 数,则( + + )( + + )(a1b1+a2b2+anbn)2, 当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号 成立.,不等式的证明 例1 (2017苏州高三第一学期期末)已知a,b,x,y都是正数,且a+b=1. 求证:(ax+by)(bx+ay)xy.,方法技巧,证明 因为a,b,x,y都是正数,且a+b=1, 所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+(a2+b2)xyab2xy+(a2+b2)xy=(a+b)2xy= xy. 当且仅当x=y时,取等号.,不等式的应用 利用不等式及|a|-|b|ab|a|+|b|求解不等式或求相关函数的最值. 例2 (2016江苏调研,21)设函数f(x)= +|x-a|(a0). (1)证明:f(x)2; (2)若f(3)5,求实数a的取值范围.,解析 (1)证明:由a0,得f(x)= +|x-a| = +a2(当且 仅当a=1时等号成立). 所以f(x)2. (2)f(3)= +|3-a|. 当a3时,f(3)=a+ ,由f(3)5得3a . 当0a3时,f(3)=6-a+ ,由f(3)5得 a3. 综上,a的取值范围是 .,
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