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,计数原理与概率、随机变量及其分布,第 九 章,第55讲 排列与组合,栏目导航,1排列与组合的概念,一定的顺序,2排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用_表示 (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用_表示,所有不同组合,3排列数、组合数的公式及性质,n(n1)(n2)(nm1),1,n！,2用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A8 B24 C48 D120 3A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有( ) A24种 B60种 C90种 D120种,C,B,5,28,(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法,一 排列问题,【例1】 (1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有_种不同的排法 (2)将某大学4名大四学生安排到某城市的甲、乙、丙、丁四所中学进行教学实习，要求每所学校都分一名学生，且学生A不分到甲校，则不同的实习安排方案共有_种,2 520,18,二 组合问题,(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理,【例2】 (1)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是( ) A60 B63 C65 D66 (2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有_种不同选法,D,36,三 排列组合的综合问题,利用先选后排法解决问题的三个步骤,【例3】 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( ) A300 B216 C180 D162,C,四 分组分配问题,分组分配问题的处理策略 (1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配，在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异 (2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”,【例4】 (1)(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A12种 B18种 C24种 D36种 (2)(2017浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答),D,660,1从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，这样的四位数有_个,96,2“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为_.,1 359,3由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求： (1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？ (2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？,4从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？ (3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？,错因分析：不熟悉“隔板”法所处理问题的两个基本特点：元素必须相同；必须保证每组至少1个元素当问题不具备这些特点时，不能完成转化,易错点 错用“隔板法”,【例1】 (1)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？ (2)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？ (3)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种？,【跟踪训练1】 (2016全国卷)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m4，则不同的“规范01数列”共有( ) A18个 B16个 C14个 D12个,C,
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