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第二节 直线的交点与距离公式,总纲目录,教材研读,1.两条直线的交点,考点突破,2.三种距离,考点二 距离问题,考点一 直线的交点,考点三 对称问题,1.两条直线的交点,教材研读,2.三种距离,1.两条直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交点为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 解方程组 得 所以两直线的交点为 .,B,2.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 ( ) A.1 B.2 C. D.2,答案 C 由题意知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y +3=0,故圆心到直线的距离d= = .故选C.,C,3.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 B 由题意可知l1与l2平行,故l1与l2之间的距离d= = = ,故选B.,B,4.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b= .,答案 -,-,解析 由 解得 将其代入x+by=0,得b=- .,5.已知坐标平面内两点A(x, -x)和B ,那么这两点之间距离的最 小值是 .,考点一 直线的交点,考点突破,典例1 (1)经过直线l1:x+y+1=0与直线l2:x-y+3=0的交点P,且与直线l3:2x- y+2=0垂直的直线l的方程是 . (2)已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0,若它们不能围成三 角形,则m的取值构成的集合是 .,答案 (1)x+2y=0 (2),解析 (1)解法一:由方程组 解得 即点P(-2,1), 由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x+2), l3l,k=- , 直线l的方程为y-1=- (x+2),即x+2y=0. 解法二:因为直线l过直线l1和l2的交点, 所以可设直线l的方程为x+y+1+(x-y+3)=0, 即(1+)x+(1-)y+1+3=0. 因为l与l3垂直, 所以2(1+)-(1-)=0,所以=- ,所以直线l的方程为 x+ y=0,即x+2y=0. (2)由已知易知l2与l3相交,且交点为 ,若l1、l2、l3交于一 点,则易得m=-1或 ;若l1l2,则m=4;若l1l3,则m=- .综上可得,m=-1或 或4或- .,变式1-1 若将本例(1)中的条件“垂直”改为“平行”,试求l的方程.,解析 由方程组 解得 即点P(-2,1). 设直线l的方程为y-1=k(x+2), 因为ll3,所以k=2,故直线l的方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0.,1-2 当0k 时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案 B 由 得 又00, 故直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在第二象限.,B,解析 (1)因为 = ,所以两直线平行, 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即 = , 所以|PQ|的最小值为 . (2)设点P的坐标为(a,b),A(4,-3),B(2,-1), 线段AB的中点M的坐标为(3,-2), 而AB的斜率kAB= =-1, 线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3, 即x-y-5=0. 点P(a,b)在直线x-y-5=0上, a-b-5=0. ,答案 (1)C (2)(1,-4)或,又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2, =2, 即4a+3b-2=10, 由联立可得 或 点P的坐标为(1,-4)或 .,易错警示 (1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|; (2)在运用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中x,y的系数化为 相等.,2-1 已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是 ( ) A. B. C.8 D.2,答案 D 由题意知 = ,m=8,直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7 =0,两平行线之间的距离d= =2.,D,2-2 已知P点坐标为(2,-1). (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程; (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,并求出最大距离; (3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存 在,请说明理由.,解析 (1)过P点的直线l与原点距离为2,又P点坐标为(2,-1),可见,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件, 此时l的斜率不存在,其方程为x=2. 若斜率存在,则设l的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0. 则 =2,解得k= . 此时l的方程为3x-4y-10=0. 综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. (2)由题意可知过P点且与原点距离最大的直线l是过P点且与PO(O为坐 标原点)垂直的直线,由lOP,得klkOP=-1,所以kl=- =2. 由点斜式得直线l的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0. 所以2x-y-5=0是过P点且与原点距离最大的直线的方程,最大距离为 = . (3)不存在.由(2)可知,不存在过P点且与原点距离超过 的直线,因此不 存在过P点且与原点距离为6的直线.,考点三 对称问题 命题角度一 点关于点的对称 典例3 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的 线段被点P平分,求直线l的方程.,解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a), 则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上, 将其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0, 解得a=4,则A(4,0),又P(0,1), 所以直线l的方程为x+4y-4=0.,命题角度二 点关于线的对称 典例4 求点A(-1,-2)关于直线l:2x-3y+1=0的对称点A的坐标.,解析 设A(x,y),则由已知得 解得 A .,命题角度三 线关于点的对称 典例5 求直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程.,解析 设P(x,y)为l上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y), 点P在直线l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0.则直线l的方程为2x-3y-9=0.,命题角度四 线关于线的对称 典例6 求直线m:3x-2y-6=0关于直线l:2x-3y+1=0的对称直线m的方程.,解析 在直线m上任取一点,如点M(2,0),则点M(2,0)关于直线l的对称点 M必在直线m上. 设点M的对称点M的坐标为(a,b),则 解得 故点M的坐标为 . 设直线m与直线l的交点为N, 由 解得 则N(4,3). 由两点式可得直线m的方程为9x-46y+102=0.,D,答案 D,解析 以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系, 由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0.,设P(t,0)(0t4),由对称知识可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为 (4,4-t),点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-t,0),根据反射定理可知直线P1 P2就是光线RQ所在直线.由P1、P2两点坐标可得直线P1P2的方程为y= (x+t),设ABC的重心为G,易知G .因为重心G 在光线 RQ上,所以 = ,即3t2-4t=0,解得t=0或t= , 因为0t4,所以t= , 即AP= ,故选D.,3-1 一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1), 求: (1)入射光线所在直线的方程; (2)这条光线从P到Q所经路线的长度.,解析 (1)设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点,QQ交l于点M,kl=-1, kQQ=1, QQ所在直线的方程为y-1=1(x-1),即x-y=0. 由 解得 交点M , 解得 Q(-2,-2). 设入射光线与l交于点N,则P,N,Q三点共线,又P(2,3),Q(-2,-2), 故入射光线所在直线的方程为 = , 即5x-4y+2=0. (2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ| = = , 即这条光线从P到Q所经路线的长度为 .,
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