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第八章 立体几何,8.4 直线、平面垂直的判定与性质,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.直线与平面垂直,mnO,任意,a,知识梳理,1,答案,b,ab,答案,2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理,直二面角,垂线,答案,l,交线,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( ) (2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.( ) (3)直线a，b，则ab.( ) (4)若，aa.( ) (5)a，a.( ) (6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ),思考辨析,答案,1.下列条件中，能判定直线l平面的是_. l与平面内的两条直线垂直； l与平面内无数条直线垂直； l与平面内的某一条直线垂直； l与平面内任意一条直线垂直. 解析 由直线与平面垂直的定义，可知正确.,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的_条件. 解析 若，因为m，b，bm， 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a， 所以ab； 反过来，当am时， 因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b， 所以不能推出.,充分不必要,解析答案,1,2,3,4,5,3.已知平面，l，P是空间一点，且P到平面、的距离分别是1、2，则点P到l的距离为_. 解析 如图，PO平面PAB， lPO. PO就是P到直线l的距离， ，四边形PAOB为矩形，,解析答案,1,2,3,4,5,4. PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对. 解析 由于PD平面ABCD， 故平面PAD平面ABCD， 平面PDB平面ABCD，平面PDC平面ABCD， 平面PDA平面PDC，平面PAC平面PDB， 平面PAB平面PAD，平面PBC平面PDC，共7对.,7,解析答案,1,2,3,4,5,5.在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O， (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心.,解析 如图1，连结OA，OB，OC，OP， 在RtPOA、RtPOB和RtPOC中， PAPCPB， 所以OAOBOC， 即O为ABC的外心.,外,解析答案,1,2,3,4,5,(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心.,解析 如图2，延长AO、BO、CO分别交对边于H、D、G点，PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面PAB，AB平面PAB， PCAB，又ABPO，POPCP， AB平面PGC，又CG平面PGC， ABCG，即CG为ABC边AB的高. 同理可证BD，AH为ABC底边上的高， 即O为ABC的垂心.,垂,解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,例1 (2014辽宁)如图，ABC和BCD所在平面互相 垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120， E，F，G分别为AC，DC，AD的中点. (1)求证：EF平面BCG； 证明 由已知得ABCDBC， 因此ACDC.又G为AD的中点，所以CGAD. 同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BGC. 又因E，F分别为AC，DC的中点， 所以EFAD，所以EF平面BCG.,题型一 直线与平面垂直的判定与性质,解析答案,(2)求三棱锥DBCG的体积.,解 在平面ABC内，作AOBC，交CB的延长线于O， 如图由平面ABC平面BCD，知AO平面BDC. 又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.,解析答案,思维升华,思维升华,(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.,跟踪训练1,解析答案,由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303， 所以CD2DB2BC2，即CDAO. 因为PD平面ABC，CD平面ABC， 所以PDCD，由PDAOD得，CD平面PAB， 又PA平面PAB，所以PACD.,证明 因为AB为圆O的直径，所以ACCB，,ABC30，设AD1，,例2 如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD平面BCD.,题型二 平面与平面垂直的判定与性质,求证：(1)CD平面PBD. 证明 ADAB，BAD90， ABDADB45， 又ADBC，DBC45， 又DCB45，BDC90， 即BDDC. 平面PBD平面BCD，平面PBD平面BCDBD， CD平面PBD.,解析答案,(2)平面PBC平面PDC. 证明 由CD平面PBD得CDBP. 又BPPD，PDCDD， BP平面PDC. 又BP平面PBC， 平面PBC平面PDC.,解析答案,思维升华,思维升华,面面垂直的性质应用技巧 (1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明.,(2015重庆)如图，三棱锥PABC中，平面 PAC平面ABC，ABC ，点D，E在线段AC上， 且ADDEEC2，PDPC4，点F在线段AB上， 且EFBC. (1)证明：AB平面PFE；,跟踪训练2,解析答案,证明 由DEEC，PDPC知，E为等腰PDC中DC边的中点， 故PEAC. 又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PE平面PAC，PEAC， 所以PE平面ABC，从而PEAB.,又PEEFE，所以AB平面PFE.,(2)若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长.,解析答案,解 设BCx，则在RtABC中，,解析答案,由(1)知，PE平面ABC， 所以PE为四棱锥PDFBC的高.,解析答案,故得x436x22430，解得x29或x227，,例3 如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC. (1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；,题型三 垂直关系中的探索性问题,解析答案,证明 在三棱台ABCDEF中，ACDF，AC平面ACE，DF平面ACE， DF平面ACE. 又DF平面DEF，平面ACE平面DEFa， DFa.,(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由,解析答案,思维升华,解析答案,取CE的中点O，连结FO并延长交BE于点G， 连结GD，CFEF，GFCE. 在三棱台ABCDEF中，ABBCDEEF. 由CF平面DEFCFDE. 又CFEFF，DE平面CBEF，DEGF.,思维升华,又GF平面DFG， 平面DFG平面CDE. 此时，如平面图所示，延长FO与CB交于点H， O为CE的中点，EFCF2BC， 由平面几何知识易证HOCFOE，,思维升华,思维升华,同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明,如图(1)所示，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2)所示 (1)求证：DE平面A1CB；,跟踪训练3,解析答案,证明 因为D，E分别为AC，AB的中点， 所以DEBC. 又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB， 所以DE平面A1CB.,(2)求证：A1FBE；,解析答案,证明 由已知得ACBC且DEBC， 所以DEAC，所以DEA1D，DECD， 所以DE平面A1DC. 而A1F平面A1DC，所以DEA1F. 又因为A1FCD，CDDED， 所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE， 所以A1FBE.,(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由,解析答案,返回,解 线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ. 理由如下： 如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q， 则PQBC. 又因为DEBC， 所以DEPQ， 所以平面DEQ即为平面DEP.,解析答案,返回,由(2)知，DE平面A1DC， 所以DEA1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点， 所以A1CDP， 因为DEDPD，所以A1C平面DEP， 从而A1C平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.,思想与方法系列,典例 (14分)如图所示，M，N，K分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点. 求证：(1)AN平面A1MK；,思维点拨 要证线面平行，需证线线平行.,思想与方法系列,17.立体几何证明问题中的转化思想,解析答案,思维点拨,规范解答 证明 (1)如图所示，连结NK. 在正方体ABCDA1B1C1D1中， 四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形， AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD. 2分 N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K， 四边形DD1KN为平行四边形. 3分 KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN. 四边形AA1KN为平行四边形.ANA1K. 4分 A1K平面A1MK，AN平面A1MK， AN平面A1MK. 6分,(2)平面A1B1C平面A1MK.,思维点拨 要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直.,温馨提醒,解析答案,返回,思维点拨,证明 如图所示，连结BC1.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1. M，K分别为AB，C1D1的中点， BMC1K，BMC1K. 四边形BC1KM为平行四边形.MKBC1. 8分 在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，,温馨提醒,解析答案,BC1平面BB1C1C，A1B1BC1. MKBC1，A1B1MK. 四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C. MKB1C. 12分 A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1， MK平面A1B1C. 又MK平面A1MK， 平面A1B1C平面A1MK. 14分,温馨提醒,温馨提醒,(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.,返回,思想方法 感悟提高,1.三类论证 (1)证明线线垂直的方法 定义：两条直线所成的角为90； 平面几何中证明线线垂直的方法； 线面垂直的性质：a，bab； 线面垂直的性质：a，bab.,方法与技巧,(2)证明线面垂直的方法 线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；,判定定理2：ab，ab； 面面平行的性质：，aa； 面面垂直的性质：，l，a，ala.,方法与技巧,(3)证明面面垂直的方法 利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； 判定定理：a，a. 2.转化思想：垂直关系的转化,在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.,方法与技巧,1.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.已知平面平面，l，点A，AD l，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是_. ABm; ACm； AB； AC.,15,解析 如图所示， ABlm；ACl，mlACm； ABlAB，只有不一定成立.,解析答案,2.(2014浙江改编)设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是_. 若mn，n，则m； 若m，则m； 若m，n，n，则m； 若mn，n，则m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 中，由mn, n，可得m或m或m与相交，错误； 中，由m，可得m或m或m与相交，错误； 中，由m，n，可得mn，又n，则m，正确； 中，由mn，n，可得m与相交或m或m，错误. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：,BDAC； BAC是等边三角形； 三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC. 其中正确的是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确； AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确； 易知DADBDC，又由知正确；由知错. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4. (2015福建改编) 若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的_条件. 解析 m垂直于平面， 当l时，也满足lm，但直线l与平面不平行， 充分性不成立， 反之，l，一定有lm，必要性成立.,必要而不充分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,5.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD， 且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 _时，平面MBD平面PCD.(只 要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析 由定理可知，BDPC. 当DMPC(或BMPC)，即有PC平面MBD. 而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.,DMPC(或BMPC等),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,6.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC 1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点， AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长 为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 设B1Fx， 因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF， 所以AB1DF.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,7.如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是 圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影， 给出下列结论： AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC. 其中正确结论的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 由题意知PA平面ABC，PABC. 又ACBC，且PAACA， BC平面PAC，BCAF. AFPC，且BCPCC， AF平面PBC， AFPB，又AEPB，AEAFA， PB平面AEF，PBEF. 故正确. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题： 三棱锥AD1PC的体积不变； A1P平面ACD1； DPBC1； 平面PDB1平面ACD1. 其中正确的命题序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1平面AD1C，直线BC1平面AD1C， 所以直线BC1平面AD1C. 所以点P到平面AD1C的距离不变， 所以体积不变.故正确； 如图，连结A1C1，A1B， 可得平面AD1C平面A1C1B. 又因为A1P平面A1C1B，所以A1P平面ACD1，故正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,当点P运动到B点时，DBC1是等边三角形， 所以DP不垂直于BC1.故不正确； 连结DB1，因为直线AC平面DB1，DB1平面DB1. 所以ACDB1.同理可得AD1DB1. 所以可得DB1平面AD1C. 又因为DB1平面PDB1. 所以可得平面PDB1平面ACD1. 故正确.综上，正确的序号为. 答案 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,9.(2014湖北)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中， E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1， A1B1，A1D1的中点.求证： (1)直线BC1平面EFPQ； 证明 如图，连结AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体， 知AD1BC1， 因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1， 从而BC1FP.而FP平面EFPQ， 且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)直线AC1平面PQMN.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,证明 连结AC，BD， 则ACBD. 由CC1平面ABCD，BD平面ABCD， 可得CC1BD. 又ACCC1C， 所以BD平面ACC1. 而AC1平面ACC1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,所以BDAC1. 因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点， 所以MNBD，从而MNAC1. 同理可证PNAC1. 又PNMNN，所以直线AC1平面PQMN.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD、PC的中点 求证： (1)PA底面ABCD；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,证明 平面PAD平面ABCDAD. 又平面PAD平面ABCD，且PAAD. PA底面ABCD.,(2)BE平面PAD；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,证明 ABCD，CD2AB，E为CD的中点， ABDE，且ABDE. 四边形ABED为平行四边形BEAD. 又BE平面PAD，AD平面PAD， BE平面PAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)平面BEF平面PCD.,证明 ABAD，且四边形ABED为平行四边形 BECD，ADCD. 由(1)知PA底面ABCD，则PACD， 又PAADA，CD平面PAD， 从而CDPD，又E、F分别为CD、CP的中点， EFPD，故CDEF. 由(2)知BE平面PAD，BECD， 又EF，BE在平面BEF内，且EFBEE， CD平面BEF.又CD平面PCD，平面BEF平面PCD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90， BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在_. 直线AB上 直线BC上 直线AC上 ABC内部,解析 由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1. 又AC面ABC，平面ABC1平面ABC. C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,12.设，是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线.从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(用代号表示). 解析 逐一判断.若成立，则m与的位置关系不确定， 故错误；同理也错误； 与均正确.,(或),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,13.已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个. 解析 若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题； 若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题； 若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14. 如图，四边形ABCD和ABEF为直角梯形，平面ABCD平面ABEF，且ADBC，AFBE，ABCABE90，AFAB BE1，M，N分别为BC，AF的中点 (1)证明：EM平面ADF；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,证明 由题意知BCAD， BC平面BCE，AD平面BCE， AD平面BCE.同理可得AF平面BCE. AD，AF平面ADF，ADAFA， 平面ADF平面BCE. EM平面BCE，EM平面ADF.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)证明：平面BMN平面MAE.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,证明 在底面ABEF中，易知ABNBEA， AEBN. 平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBM， BM平面ABEF. AE平面ABEF，BMAE. BNBMB，EA平面BMN. AE平面MAE，平面BMN平面MAE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.(2015湖北)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P-ABCD中， 侧棱PD底面ABCD，且PDCD， 点E是PC的中点，连结DE、BD、BE. (1)证明：DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,证明 因为PD底面ABCD，所以PDBC， 由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD， 所以BC平面PCD.而DE平面PCD， 所以BCDE. 又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC. 而PCBCC，所以DE平面PBC. 由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 由已知得，PD是阳马P-ABCD的高，,由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,返回,
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