资源描述
,热点一 利用导数解决函数的单调性问题,函数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再利用导数f(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性这类问题主要有两种考查方式： (1)判断函数f(x)的单调性或求单调区间； (2)利用函数的单调性或单调区间，求参数的范围,热点突破,热点一 利用导数解决函数的单调性问题,解 (1)因为当a1时，f(x)x2ex， f(x)2xexx2ex(2xx2)ex， 所以f(1)e，f(1)3e. 从而yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为 ye3e(x1)， 即y3ex2e.(5分) (2)f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax. 当a0时，若x0，则f(x)0，若x0，则f(x)0. 所以当a0时，函数f(x)在区间(，0)上为减函数， 在区间(0，)上为增函数(7分),热点突破,热点一 利用导数解决函数的单调性问题,热点突破,热点一 利用导数解决函数的单调性问题,热点突破,综上所述， 当a0时，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；,第一步,第二步,第三步,第四步,第五步,求含参函数f(x)的单调区间的一般步骤：,热点一 利用导数解决函数的单调性问题,热点突破,热点一 利用导数解决函数的单调性问题,热点突破,【训练1】已知函数f(x)exln xaex(a0) (1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线与直线xey10垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围,f(1)(1a)e，,热点一 利用导数解决函数的单调性问题,热点突破,若f(x)在(0，)上为单调递减函数， 则f(x)0，在(0，)上恒成立,【训练1】已知函数f(x)exln xaex(a0)(2)若函数f(x)在区间(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围,由g(x)0得x1，故g(x)在(0，1上为单调递减函数， 在1，)上为单调递增函数， 此时g(x)有最小值为g(1)1，但g(x)无最大值 故f(x)不可能是单调递减函数 若f(x)在(0，)上为单调递增函数， 则f(x)0在(0，)上恒成立，,热点一 利用导数解决函数的单调性问题,热点突破,由上述推理可知此时a1. 故a的取值范围是(，1,热点突破,热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题,用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一对于此类问题的求解，首先，要理解函数极值的概念，需要清楚导数为零的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点；其次，要区分极值与最值，函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体性概念,热点突破,热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题,解 (1)由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1， 则f(x)ax2(a1)x1ex， f(x)ax2(a1)xaex， 依题意对于任意x0，1，有f(x)0. 当a0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上， 而f(0)a0，所以需f(1)(a1)e0，即0a1； 当a1时，对于任意x0，1，有f(x)(x21)ex0， 且只在x1时f(x)0，f(x)符合条件； 当a0时，对于任意x0，1，f(x)xex0， 且只在x0时，f(x)0，f(x)符合条件； 当a0时，因f(0)a0，f(x)不符合条件 故a的取值范围为0a1.,热点突破,热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题,(2)因g(x)(2ax1a)ex， g(x)(2ax1a)ex， 当a0时，g(x)ex0， g(x)在x0处取得最小值g(0)1， 在x1处取得最大值g(1)e. 当a1时，对于任意x0，1有g(x)2xex0， g(x)在x0处取得最大值g(0)2， 在x1处取得最小值g(1)0.,热点突破,热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题,g(x)在0，1上单调递增， g(x)在x0处取得最小值g(0)1a， 在x1处取得最大值g(1)(1a)e.,在x0或x1处取得最小值， 而g(0)1a，g(1)(1a)e， 由g(0)g(1)1a(1a)e(1e)a1e0，,热点突破,热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题,热点突破,热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题,热点突破,解 函数f(x)的定义域为(0，)，,热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题,(1)当a2时，f(x)x2ln x，,因而f(1)1，f(1)1， 所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的 切线方程为y1(x1)， 即xy20.,热点突破,热点二 利用导数求解函数的极值、最值问题,当a0时，f(x)0， 函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa. 又当x(0，a)时，f(x)0； 当x(a，)时，f(x)0， 从而函数f(x)在xa处取得极小值， 且极小值为f(a)aaln a，无极大值 综上，当a0时，函数f(x)无极值； 当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值,热点突破,热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题,“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错,热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题,【例3】 (2014陕西卷节选)设函数f(x)ln (1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式(不需证明)； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围,热点突破,热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题,【例3】 (2014陕西卷节选)设函数f(x)ln (1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式(不需证明)； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围,热点突破,当a1时，(x)0(仅当x0，a1时等号成立)， (x)在0，)上单调递增 又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，,热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题,【例3】 (2014陕西卷节选)设函数f(x)ln (1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式(不需证明)； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围,热点突破,当a1时，对x(0，a1有(x)0， (x)在(0，a1上单调递减， (a1)1时，存在x0，使(x)0，,综上可知，a的取值范围是(，1,求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解,热点突破,热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题,(2)f(x)的定义域为(0，)，,热点突破,热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题,由题设知f(1)0，解得b1.,故当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增,热点突破,热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题,热点突破,热点三 利用导数解决与不等式有关的恒成立和存在性问题,热点突破,热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题,利用导数研究方程的解或图象交点问题，是高考题的典型题型，该类问题一般可通过导数研究函数的单调性和极值，描绘出草图，然后分析观察，列出相应不等式(或方程)求解该类问题充分体现了数形结合这一重要思想方法,热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题,由f(x)0，得xe. 当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，,热点突破,f(x)的极小值为2.,热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题,则(x)x21(x1)(x1)， 当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增； 当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减 x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x1也是(x)的最大值点,热点突破,热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题,又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，可知,热点突破,用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决,热点突破,热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题,热点突破,(1)解 f(x)3x26xa，f(0)a. 曲线yf(x)在点(0，2)处的切线方程为yax2.,(2)证明 由(1)知，f(x)x33x2x2. 设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4. 由题设知1k0. 当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增， g(1)k10，g(0)4， 所以g(x)0在(，0上有唯一实根,热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题,【训练4】(2014新课标全国卷)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2. (1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点,热点突破,当x0时，令h(x)x33x24， 则g(x)h(x)(1k)xh(x) h(x)3x26x3x(x2)， h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)上单调递增， 所以g(x)h(x)h(2)0. 所以g(x)0在(0，)上没有实根 综上，g(x)0在R上有唯一实根， 即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点.,热点四 利用导数研究方程解或图象交点问题,【训练4】(2014新课标全国卷)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为2. (1)求a；(2)证明：当k1时，曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点,
展开阅读全文