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第9讲 函数的应用,考试要求 1.指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，A级要求；2.函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用，B级要求,知 识 梳 理 几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型,(2)指数、对数、幂函数模型性质比较,递增,递增,y轴,x轴,诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大( ) (2)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻( ) (3)幂函数增长比直线增长更快( ) (4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x)( ),2小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，则下列图象与以上事件吻合得最好的是_(填序号),解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除.后来为了赶时间加快速度行驶，排除.故符合 答案 ,3(2014南京、盐城模拟)用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_,答案 3,4某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1 个病毒能繁殖为_个,答案 2ln 2 1 024,5某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为_元,解析 设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元， 日均销售量为48040(x1)52040x(桶)， 则y(52040x)x20040x2520x200,0x13. 当x6.5时，y有最大值所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润 答案 11.5,考点一 二次函数模型 【例1】 A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度 (1)求x的取值范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？,规律方法 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域之间的位置关系讨论求解,【训练1】 (2014武汉高三检测)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是_万元,答案 43,考点二 指数函数、对数函数模型 【例2】 (2014青岛模拟)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率是_(参考数据lg 20.301 0，100.007 51.017),答案 1.7%,规律方法 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解,【训练2】 某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，给出该股民关于这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)：略有盈利；略有亏损；没有盈利也没有亏损其中说法正确的为_(填序号) 解析 设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损 答案 ,当1x5时，g(x)0， 当5x6时，g(x)0， 当x5时，g(x)maxg(5)3 125(万元) 当7x12，且xN*时，g(x)480x6 400是减函数，当x7时，g(x)maxg(7)3 040(万元) 综上，2015年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元.,规律方法 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值,【训练3】 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.,解析 若x1 300元，则y5%(1 300800)25(元)30(元)， 因此x1 300. 由10%(x1 300)2530，得x1 350(元) 答案 1 350,思想方法 解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；,(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义 以上过程用框图表示如下：,易错防范 1解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯 2在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系 3解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案,
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