资源描述
考试要求 1.函数的零点与方程根的联系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断，B级要求；2.二分法求相应方程的近似解，B级要求,第8讲 函数与方程,知 识 梳 理 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数yf(x) (xD)，把使 的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点 (2)几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 ,f(x)0,零点,x轴,(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f(x)0的根.,f(a)f(b)0,(a，b),f(c)0,c,2.二次函数yax2bxc (a0)的图象与零点的关系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,0,3.二分法 (1)定义：对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 (2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： 确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度； 求区间(a，b)的中点c；,f(a)f(b)0,一分为二,零点,计算f(c)； ()若f(c)0，则c就是函数的零点； ()若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)； ()若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b) 判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.,诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点( ) (2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.( ) (3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点( ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值( ),3(2014湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断，由下表知方程f(x)g(x)有实数解的区间是_.,4下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是_(填序号),答案 2,考点一 函数零点的判断与求解 【例1】 (1)(2014苏、锡、常、镇模拟)设f(x)exx4，则函数f(x)在区间(1,2)内的零点有_个 (2)(2014湖北卷改编)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为_,规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的对于求方程f(x)g(x)的根，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)g(x)的根,(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，即yg(x)与yf(x)的图象有两个不同的交点，,规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用,观察图象可知，若方程f(x)a0有三个不同的实数 根，则函数yf(x)的图象与直线ya有3个不同的交点，此时需满足0a1. 答案 (1)(0,3) (2)(0,1),规律方法 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组,【训练3】 已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围,思想方法 1判定函数零点的常用方法有： (1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0. 2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点 3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题,易错防范 1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标 2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象,
展开阅读全文