2019-2020年高考数学大一轮总复习 第9篇 第3节 变量间的相关关系与独立性检验课时训练 理 新人教A版 .doc

2019-2020年高考数学大一轮总复习 第9篇 第3节 变量间的相关关系与独立性检验课时训练 理 新人教A版一、选择题1(xx衡水中学模拟)对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是()Ar2r40r3r1Br4r20r1r3Cr4r20r3r1 Dr2r40r1r30，又(2)(4)为负相关且(2)较集中在直线附近，(4)较分散，所以r2r40.综上得r2r40r3r1.故选A.答案：A2某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据表可得回归方程x中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A63.6万元 B65.5万元C67.7万元 D72.0万元解析：样本中心点是(3.5,42)，则429.43.59.1，所以回归方程是9.4x9.1，把x6代入得65.5.故选B.答案：B3(xx青岛市模拟)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A10x200 B10x200C10x200 D10x200解析：由于销售量y与销售价格x负相关，因此回归方程中的系数6.635，故有99%的把握确认这两个变量间有关系，正确故选B.答案：B6(xx年高考福建卷)已知x与y之间的几组数据如表：x123456y021334假设根据如表数据所得线性回归直线方程为x，若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa，则以下结论正确的是()Ab，a Bb，aCa Db，a解析：由两组数据(1,0)和(2,2)可求b2，a0212.利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得，所以a.故选C.答案：C二、填空题7(xx济南三模)某市居民xxxx年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如表所示：年份xxxx2011xxxx年平均收入x11.512.11313.315年平均支出y6.88.89.81012根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_，家庭年平均收入与年平均支出有_线性相关关系解析：5个x值是按从小到大的顺序排列的，因此居民家庭年平均收入的中位数是13万元以家庭年平均收入x作为x轴，年平均支出y作为y轴，描点得到散点图如图所示：观察散点图可知，这些点大致分布在一条直线的附近，且总体呈上升趋势，因此家庭年平均收入与年平均支出有正线性相关关系答案：13万元正8(xx嘉兴联考)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到22列联表：理科文科合计男131023女72027合计203050已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根据表中数据，得到K24.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为_解析：由K24.8443.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%.答案：5%9(xx深圳二调)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程0.67x54.9.现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为_解析：依题意，(1020304050)30.由于直线0.67x54.9必过点(，)，于是有0.673054.975，因此表中的模糊数据是755(62758189)68.答案：6810已知x，y之间的一组数据如表：x23456y34689对于表中数据，现给出如下拟合直线：yx1；y2x1；yx；yx.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是_(填序号)解析：由题意知4，6，x，填.答案：三、解答题11(xx年高考重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i80，i20，iyi184，720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ybxa；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程ybxa中，b，ab，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为bxa.解：(1)由题意知n10，8，2，又n2720108280，iyin184108224，由此得b0.3，ab20.380.4，故所求回归方程为y0.3x0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b0.30)，故x与y之间是正相关(3)将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y0.370.41.7(千元)12为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：0022：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到数据表：休闲方式性别看电视看书合计男105060女101020合计206080(1)根据表中数据估计该社区居民在这一时间段以看书为休闲方式的概率和女性以看电视为休闲方式的概率；(2)根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：0022：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？参考公式：K2，其中nabcd.参考数据：P(K2k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解：(1)由表可知该社区居民以看书为休闲方式的概率为，女性以看电视为休闲方式的概率为.(2)根据样本提供的22列联表得K28.8896.635.所以我们有99%的把握认为“在20：0022：00时间段居民的休闲方式与性别有关”第1节计数原理、排列与组合 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理原理异同点分类加法计数原理分步乘法计数原理定义完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有Nmn种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法区别各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事质疑探究1：计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理？提示：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理2排列与组合排列与排列数组合与组合数定义排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数组合：从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式排列数公式An(n1)(n2)(nm1)组合数公式C性质An(n1)(n2)321n！；0！1C1；CC；CCC备注n、mN*且mn质疑探究2：如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题；若与顺序无关，则是组合问题14封不同的信投入3个不同的信箱中，所有投法的种数是()A7B12C34 D43解析：根据分步乘法计数原理4封不同的信投入3个不同的信箱共有333334(种)投法，故选C.答案：C2从3名男同学和4名女同学中选2人分别担任学生会主席和副主席，则不同的选法种数为()A7 B21C42 D12解析：因为选出的2人担任职位不同，所以这是一个排列问题，不同的选法为A7642(种)故选C.答案：C3xxxxxx2011xx等于()AA BACC DC解析：由排列数公式知上式为A，故选B.答案：B4有5张卡片分别写有数字1、2、3、4、5.(1)从中任取4张，共有_种不同取法；(2)从中任取4张，排成一个四位数，共组成_个不同的四位数解析：(1)从5张卡片中任取4张，共有C5(种)不同取法(2)从5张卡片中任取4张组成一个四位数，共组成A120(个)不同的四位数答案：(1)5(2)120第十篇计数原理与概率、随机变量及其分布 高三一轮总复习数学(人教A版理科) 分类加法计数原理例1椭圆1的焦点在y轴上，且m1,2,3,4,5，n1,2,3,4,5,6,7，则这样的椭圆的个数为_思维导引由方程表示焦点在y轴上的椭圆可知0mn0.以m的取值进行分类(1)当m1时，n值不存在；(2)当m2时，n可取1，只有1种选择；(3)当m3时，n可取1,2，有2种选择；(4)当m4时，n可取1,2,3，有3种选择；(5)当m5时，n可取1,2,3,4，有4种选择；由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个答案：10 分步乘法计数原理例2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，则(1)P可表示平面上_个不同的点；(2)P可表示平面上_个第二象限的点思维导引对点P的确定应分步完成，即先确定横坐标，再确定纵坐标，因此本题用分步乘法计数原理解析(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6636.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b0，所以有2种确定方法由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是326.答案(1)36(2)6 利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件(3)对完成各步的方法数要准确确定即时突破2 (xx年高考大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种 B18种C24种 D36种解析：利用分步乘法计数原理，先填最左上角的数，有3种，再填最右上角的数，有2种，再填写第二行第一列的数，有2种，一共有32212(种)故选A. 排列的应用问题例3有5个同学排队照相(1)甲在中间的排法有多少种？(2)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？(3)甲、乙两个同学互不相邻的排法有多少种？思维导引(1)甲在中间，则其余4人在甲两侧的4个位置中进行全排即可；(2)甲、乙相邻，利用捆绑法，先排甲、乙，然后看作一个整体与其他三人全排即可；(3)甲、乙两人不相邻，则先排其余三人，形成四个空，然后甲、乙两人插空排列即可解析(1)因为甲的位置已确定，故不同的排法为其余四人的一个全排列，即A24(种)(2)因为甲、乙相邻，所以甲、乙不同的排法为A种，然后与其他三人共4个元素进行全排，即不同的排法有AA22448(种)(3)因为甲、乙不相邻，所以先排其余三人，不同的排法为A；形成4个空位，甲、乙选择其中的2个进行排列即可所以不同的排法为AA61272(种) 求解排列应用问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法即时突破3 xx年世界大学生运动会在俄罗斯的喀山市举行，已知火炬传递在A、B、C、D、E、F六个城市之间进行，以A为起点，F为终点，B与C必须接连传递，E必须在D的前面传递，且每个城市只经过一次，那么火炬传递的不同路线共有_种解析：因B与C必须相邻，故把它们捆绑在一起视为一个整体元素B，则B、D、E不同的排列方式有A种，因E必须在D的前面传递，所以不同的排列方式有种，又B与C的排列方式有A种，从而不同的排列方式有A6(种)答案：6 组合的应用问题例4某课外活动小组共有13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依据下列条件各有多少种选法？(1)只有2名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选思维导引(1)先选2名女生，再选3名男生；(2)两队长当选，则只需从其他11名队员中选3人；(3)可根据参选的队长数进行分类，也可利用间接法求解；(4)根据参选女生人数进行分类解(1)由题意，需选2名女生，3名男生，不同的选法有CC1056560(种)(2)两队长当选，则只需从其他11人选出3人即可，故不同的选法有C165(种)(3)法一(直接法)至少有一名队长当选，可分恰有一名队长当选与两名队长都当选两类恰有一名队长当选，先从2名队长中选1人，然后从11名队员中选4人，不同的选法有CC2330660(种)两名队长都当选，则只需从其他11人中选出3人，不同的选法有C165(种)由分类加法计数原理可知，不同的选法共有660165825(种)法二(间接法)从13人中任选5人，不同的选法有C1287(种)而两名队长都未当选，即只从11名队员中选取5人，不同的选法为C462(种)所以至少有一名队长当选的选法共有：1287462825(种)(4)至多有两名女生当选可分为三类：没女生当选，即从男生8人中选取5人，不同的选法为C56(种)；恰有一名女生当选，则需从男生中选取4人，不同的选法为CC570350(种)；恰有两名女生当选，则需从男生中选取3人，不同的选法为CC560(种)由分类加法计数原理得不同的选法共有：56350560966(种) 组合问题常有以下两类题型：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理即时突破4 (xx年高考重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)解析：选派骨科、脑外科、内科医生的人数依次为3,1,1；2,2,1；2,1,2；1,3,1；1,2,2；1,1,3.所以选派种数为CCCCCCCCCCCCCCCCCC590.答案：590分类混淆、计数原理使用不当致误典例在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10 B11C12 D15分析：信息“0110”是一个四位数字，此类“至多”、“至少”类型的问题可以直接利用分类讨论的方法求解，也可转化为其反面的问题，利用间接法求解正解：法一(直接法)若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C4(个)；若2个相同，共有C6(个)故共有14611(个)法二(间接法)若3个相同，共有C4(个)，若4个相同，共有1个，而不同排列个数为2416，所以共有16(14)11(个)易错提醒：该题中要求解的是“至多有两个对应位置上的数字相同”，易出现的问题是分类混淆，漏掉各位数字信息均不相同的情况，解决此类问题的关键是准确确定分类标准，分类计数时要做到不重不漏一、选择题1已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为()A16B13C12 D10解析：由分步乘法计数原理可知，走法总数为4312.故选C.答案：C2.如图所示，在A、B间有四个焊接点1、2、3、4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现A、B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有()A9种 B11种C13种 D15种解析：按照焊接点脱落的个数进行分类若脱落1个，则有(1)，(4)共2种；若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共6种；若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)共4种；若脱落4个，有(1,2,3,4)共1种综上共有264113(种)焊接点脱落的情况故选C.答案：C3(xx河南省三市(平顶山、许昌、新乡)三模)现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有()A6种 B12种C18种 D24种解析：只需让第一所学校选取即可先从2名医生中选取1名，不同的选法有C2(种)；再从4名护士中选取2名，不同的选法有C6(种)由分步乘法计数原理可得，不同的分配方案有2612(种)故选B.答案：B4一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33! B3(3！)3C(3！)4 D9!解析：9个座位坐3个三口之家，每家人坐在一起，用捆绑法，不同的坐法种数为A(AAA)(3！)4.故选C.答案：C5(xx甘肃省兰州一中高三高考冲刺)将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案种数为()A150 B114C100 D72解析：北大上海交大浙大311CC8221CC18212CC18131CC16122CC24113CC16所以不同的保送方案有81818162416100(种)故选C.答案：C6(xx吉林省实验中学第二次模拟)袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球的编号互不相同的取法种数为()A32 B40C24 D56解析：由题意知每个号码均有白球和黑球各一个先从4个号码中选取3个，不同的选法为C4(种)；然后每个号码选择一球各有2种选法，所以不同的选法共有422232(种)故选A.答案：A二、填空题7(1)若3A2A6A，则x_.(2)若Cx2x16C，则x_.解析：(1)原方程可化为3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，整理得3x217x100.解之得x(舍去)或x5.原方程的解为x5.(2)原方程可化为x2x5x5或(x2x)(5x5)16，即x26x50或x24x210.解得x1，x5或x7，x3，经检验x5和x7不合题意，故原方程的根为1,3.答案：(1)5(2)1或38甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有_种解析：按甲的安排进行分类讨论甲排周一，则乙丙排后4天中2天，有4312(种)；甲排周二，则乙、丙排后3天中2天，有326(种)；甲排周三，则乙、丙排后2天，有212(种)故共有126220(种)答案：209已知a2,4,6,8，b3,5,7,9，则能组成logab1的对数值有_个解析：由logab1可得ba，故可根据a的取值进行分类当a2时，b可取3,5,7,9共4种情况；当a4时，b可取5,7,9共3种情况；当a6时，b可取7,9共2种情况；当a8时，b只能取9，共1种情况由分类加法计数原理可知不同的对数值共有432119(个)其中log23log49.答案：910某市教育局在一次教师招聘中共邀请了9名评委老师，若将9位评委老师平均分成三组进行打分，共有_种不同的分法解析：9位评委老师平均分成3组，每组3人，这是一个均分问题，故不同的分法为280(种)答案：280三、解答题11某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人(1)选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法？(2)每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法？(3)推选出其中2人去外校参观学习，要求这2人来自不同年级，有多少种不同的选法？解：(1)若从高一学生中选，则有10种不同选法；若从高二学生中选，则有8种不同选法；若从高三学生中选，则有7种不同选法；所以由分类加法计数原理知，共有108725(种)不同选法(2)三个年级分别有10种，8种，7种不同选法，由分步乘法计数原理知，共有1087560(种)不同选法(3)选法可分三类：一类是1人选自高一，1人选自高二，有10880(种)选法；第二类是1人选自高一，1人选自高三，有10770(种)选法；第三类是1人选自高二，1人选自高三，有8756(种)选法，所以共有807056206(种)不同选法12男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员解：(1)任选3名男运动员，方法数为C，再选2名女运动员，方法数为C，共有CC120(种)方法(2)法一至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为CCCCCCCC246.法二“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有CC246(种)(3)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法不选女队长时，必选男队长，其他人任意选，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(CC)种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有CCC191(种)第2节计数原理、排列与组合的综合应用 1两个计数原理的综合应用对于一些较为复杂的既要运用分类计数原理又要运用分步计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清楚，一般采用先分类后分步的策略2排列组合常见的解题策略(1)特殊元素优先安排策略；(2)合理分类与准确分步策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列)；(4)正难则反，等价转化策略；(5)相邻问题捆绑处理策略；(6)不相邻问题插空处理策略；(7)定序问题除法处理策略；(8)“小集团”排列问题先整体后局部策略；(9)构造模型的策略1如图所示为一电路图，从A到B共有_条不同的线路可通电()A18B8C9 D15解析：先分步后分类，共有不同的线路为3(32)15条故选D.答案：D2已知5个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建一项，其中甲工程队不能承建3号子项目，则不同的承建方案共有()A4种 B16种C64种 D96种解析：第一步确定甲工程队承建的子项目，从1,2,4,5号子项目中任选一个，不同的选法有C4种；第二步，其余4个工程队不同的排法有A24种由分步计数原理可知，不同的承建方案有42496种故选D.答案：D3电视台在直播xx年莫斯科大学生运动会时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的运动会宣传广告，要求最后播放的是运动会宣传广告，且2个运动会宣传广告不能连播则不同的播放方式的种数为()A120 B48C36 D18解析：有CCA36(种)，故选C.答案：C4某班3名同学去参加5项活动，每人只参加1项，同一项活动最多2人参加，则3人参加活动的方案共有_种(用数字作答)解析：ACA120(种)答案：120 计数原理的综合应用例1如图所示，将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法共有_种(以数字作答)思维导引法一可分两大步进行，先将四棱锥一侧面上的三个顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色方法种数，用分步乘法计数原理可得染色方法总数；法二按SABCD的顺序染色；法三可按所用颜色种数分类解析法一由题意，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法当S、A、B染色确定时，不妨设其颜色分别为1、2、3，设另外两种颜色为4,5，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A、B染色确定时，C、D有7种染法故不同的染色方法有607420(种)法二第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法，由分步乘法计数原理知，有54313180(种)方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法，则有54322240(种)方法由分类加法计数原理得不同的染色方法共180240420(种)法三第一类，5种颜色全用，共有54321120(种)不同的染色方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C或B与D)，共有54325432240(种)不同的染色方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有54360(种)不同的染色方法；由分类加法计数原理，得不同的染色方法共有12024060420(种)答案420 利用两个计数原理解决计数问题时，要注意以下几个方面：(1)对于复杂的问题，可借助列表、画图的方法将其分解为两个计数原理的应用问题；(2)先分类后分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)分类时要不重不漏；(4)分步时要步骤完整即时突破1 已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同的点有()A18个B16个C14个 D10个解析：(1)设aM，bN.a为横坐标，b为纵坐标，则由题意知，b0，故a的选取有3种；b只有5,6两种选法，由分步计数原理可知，满足条件的点有326个a为纵坐标，b为横坐标由题意a0，则b的选法有4种，a的选法有2种由分步计数原理知，满足条件的点有428个由分类计数原理得，满足条件的点共有6814个故选C. 计数原理与排列(或组合)的综合问题例2(1)(xx年高考浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A240 B204C729 D920思维导引(1)根据位置的对称性分为C在第一或第六位置、C在第二或第五位置与C在第三或第四位置三类求解(2)根据a3是否为0，a1与a3是否相等进行分类，利用分类加法计数原理求解解析(1)按C的位置分类计算当C在第一或第六位时，有A120(种)排法；当C在第二或第五位时，有AA72(种)排法；当C在第三或第四位时，有AAAA48(种)排法所以共有2(1207248)480(种)排法(2)由题意知a2是a1，a2，a3三个数中的最大数且a1与a3的大小关系不确定，a1不能为0，a3可以为0，根据a3是否为0及a1与a3是否相等进行分类讨论若a30，则满足条件的凸数有C36个若a30，且a1a3则满足条件的凸数有C36个若a30，且a1a3，则满足条件的凸数有2C168个由分类计数原理知所有凸数的个数有3636168240个，故选A.答案(1)480(2)A 解决计数原理与排列(或组合)综合问题时首先根据题意确定是分类还是分步解决，然后确定每一类(或步)是排列问题还是组合问题，先分别求解，再由计数原理最终求解即时突破2 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字且比xx0大的五位偶数共有()A48个 B36个C24个 D18个解析：由题意知个位数字可为2或4.若个位数字为2，则首位数字有3,4,5三种选择此时满足条件的五位偶数有3A18个若个位数字为4，则首位数字有2,3,5三种选择此时满足条件的五位偶数有3A18个由分类加法计数原理知满足条件的五位偶数有181836个故选B. 排列与组合的综合应用例3(1)(xx云南省玉溪市毕业班检测)从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有()A51个 B54个C12个 D45个(2)(xx吉林省白山市模拟)现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件，下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()A420种 B560种C840种 Dxx0种思维导引(1)依据选取的数字中是否含有2,3进行分类；(2)保持商品的相对顺序不变可以利用依次插空法求解解析(1)依据选取的数字中是否含有2,3分为四类：2、3都不选取，则只能选取1,4,5，故不同的三位数有A6个；选2不选3，且2排在3的前面，则需从1,4,5中选取2个，则不同的三位数有CA18个；选3不选2，则需从1,4,5中选取2个，则不同的三位数有CA18个；2、3都选，且2排在3的前面，则需从1,4,5中选取一个，则不同的三位数有9个综上，不同的三位数共有：61818951个故选A.(2)可分2步求解第一步，从下层8件中选取2件，不同的选法为C种第二步，选出的2件依次插入上层的4件中有A种不同的插法由分步计数原理可得，不同调整方法的种数有CA2820560种故选B. (1)解决排列组合应用题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准(2)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同即时突破3 (1)(xx年高考山东卷)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252C261 D279(2)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A72 B96C108 D144解析：(1)由0,1,2，9十个数字共可组成三位数个数为CCC900，其中无重复数字的三位数有CA648(个)，则符合题意的三位数个数为900648252.故选B.(2)由于为偶数，故末位共有C种选法，然后分类：当5在首位或十位时，共有2AAC72(个)；当5在万位、千位或百位时，共有3AAC36(个)故共有7236108(个)故选C.特殊元素(位置)优先安排法典例3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为()A360 B288C216 D96分析：分两步计算第一步：计算满足3位女生中有且只有两位相邻的排法将3位女生分成两组，插空到排好的3位男生中第二步：在第一步的结果中排除甲站两端的排法解析：3位男生排成一排有A种排法，3名女生分成两组其中2名排好看成一个整体有CA种排法，这两组女生插空到3名男生中有A种插法，于是6位同学排成一排且3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有CAAA432种其中男生甲在排头或排尾时，其余两男生的排法有A种，两组女生插到2名男生中有A种插法于是男生甲在排头或排尾，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有2AACA144种所以满足条件的排法共432144288种故选B. 该题涉及到两个特殊条件：“甲不站两端”与“3女生中有且只有两位女生相邻”，显然对于“甲不站两端”这类问题可利用间接法求解，将其转化为“甲站两端”的问题，要优先安排甲，然后再安排其他元素；对于“三位女生中有且只有两位女生相邻”中的相邻问题利用捆绑法，而不相邻问题可以利用插空法求解一、选择题1.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()A11种B20种C21种 D12种解析：左边两个开关的开闭方式有闭合2个、1个即有123(种)，右边三个开关的开闭方式有闭合1个、2个、3个，即有3317(种)，故使电路接通的情况有3721(种)故选C.答案：C2现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，每部分涂一种颜色，有公共边界的两块不能用同一种颜色，如果颜色可以反复使用，则不同的着色方法共有()A24种 B30种C36种 D48种解析：按使用颜色种数可分为两类使用4种颜色有A24种不同的着色方法，使用3种颜色有A24种不同着色方法由分类加法原理知共有242448种不同的着色方法故选D.答案：D3将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种 B10种C9种 D8种解析：法一先分组后分配，不同的安排方案共有AA12(种)故选A.法二由位置选元素，先安排甲地，其余去乙地，不同的安排方案共有CCCC12(种)选A.答案：A4(xx山西省太原市第五中学高三模拟)xx年第12届全国运动会举行期间，某校4名大学生申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有()A20种 B24种C30种 D36种解析：甲自己服务一个比赛项目，则先让甲从B、C中选取一个项目，然后其余三人分成2组(21)服务两个不同的比赛项目，故不同的安排方案共有CCA12种；甲和另一名大学生两人一组服务一个比赛项目，则先从其余三人中选取一个与甲组成一组，再从B、C中选取一个项目，最后剩余两人与两个项目进行全排列即可，所以不同的安排方案共有CCA12种由分类计数原理可得，不同的安排方案为121224种故选B.答案：B5(xx山西省山大附中高三模拟)如图所示是某个区域的街道示意图(每个小矩形的边表示街道)，那么从A到B的最短线路有_条()A100 B400C200 D250解析：从A到B的最短线路有两条：AMB；ANB.若线路为AMB，则从A到M只需走5条街道，则需要从这五条街道中走3条向右，剩余2条街道则需要向北走，不同的走法为C10种；从M到B只需走5条街道，则需要从这五条街道中走2条向右，剩余3条街道则需要向北走，不同的走法为C10种由分步计数原理可得，不同的走法为1010100种若线路为ANB，则从A到N只需走5条街道，则需要从这五条街道中走2条向右，剩余3条街道则需要向北走，不同的走法为C10种；从N到B只需走5条街道，则需要从这五条街道中走3条向右，剩余2条街道则需要向北走，不同的走法为C10种由分步计数原理可得，不同的走法为1010100种由分类计数原理可得，不同的走法共有100100200种故选C.答案：C6(xx长春市高中毕业班第四次调研)若数列an满足规律：a1a2a2n，则称数列an为余弦数列，现将1,2,3,4,5排列成一个余弦数列的排法种数为()A12 B14C16 D18解析：a1，a3，a5从3,4,5中取值时，a2，a4从1,2中取值共AA12种a1，a3，a5依次取2,4,5时，a2，a4依次取1,3，a1，a3，a5依次取2,5,4时，a2，a4依次取1,3，a1，a3，a5依次取4,5,2时，a2，a4依次取3,1，a1，a3，a5依次取5,4,2时，a2，a4依次取3,1.由分类加法计数原理得，不同的排法为12416种，故选C.答案：C二、填空题7(xx河南省商丘市高三第三次模拟)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法总数为_解析：先将标号为3,4,5,6的卡片平均分成两组，不同的分法有3种再将3组分别装入3个信封中，不同的装法有A6种由分步计数原理得不同方法的总数为3618.答案：188(xx山西省四校联考)某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有_种解析：先进行分组，从其余4列火车中任取2列与甲一组，不同的分法为C6种由分步计数原理得不同的发车顺序为CAA216种答案：2169用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_种.123456789解析：第一步，从红、黄、蓝三种颜色中任选一种去涂标号为“1、5、9”的小正方形，涂法有3种；第二步，涂标号为“2、3、6”的小正方形，若“2、6”同色，涂法有22种，若“2、6”不同色，涂法有21种；第三步，涂标号为“4、7、8”的小正方形，涂法同涂标号为“2、3、6”的小正方形的方法一样所以符合条件的所有涂法共有3(2221)(2221)108(种)答案：10810某国家代表队要从6名短跑运动员中选4人参加亚运会4100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有_种参赛方法解析：分情况讨论：若甲、乙均不参赛，则有A24(种)参赛方法；若甲、乙有且只有一人参赛，则有CC(AA)144(种)；若甲、乙两人均参赛，则有C(A2AA)84(种)，故一共有2414484252(种)参赛方法答案：252三、解答题11.编号为A、B、C、D、E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1、2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？解：根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E有3216(种)不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E有3216(种)不同的放法；(3)若A球放在4