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2019-2020年高二四月质量检测数学（理）试题注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案全部写在答题纸上.一填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1 已知复数（是虚数单位），则= _ 2观察式子，则可以归纳出 _ 3 用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是 4若，则的值为 5若，则最大值为 6四面体 中， 图一第7题图图二7已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为 8若 ,则 96个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为 10. 把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如下面），则第个三角形数是 11. 已知两点,点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 12. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是 13. 如图，在梯形中，若，到与的距离之比为，则可推算出：试用类比的方法，推想出下述问题的结果在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设的面积分别为，且到与的距离之比为，则的面积与的关系是 . 14.设为复数集的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集.下列命题：集合Sabi|（为整数，为虚数单位）为封闭集；若S为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.二、解答题（共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15当实数取何值时，复数（其中是虚数单位）（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）等于零.16如图，在正方体中，是棱的中点，在棱上.且，若二面角的余弦值为，求实数的值.17用数学归纳法证明：18已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为（1）求的值；（2）求展开式中的常数项19已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点。（1）证明：面面；（2）求与所成的角；（3）求面与面所成二面角的余弦值20.由下列不等式：,你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明 考试号_ 学号_ 班级_座位号_ 姓名_ 密封线内不要答题高二数学试卷答题纸成绩 一、填空题（每小题5分，计70分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题（本大题共6小题，计90分）15（14分）16（14分）（第16题图） 17（15分）、18（15分）19（16分）（第19题图）（请将20题解答写在答题纸反面）答 案1. 2. 3. 4. 5.26. 7. 8. 7 9.10 10. 11. 12. 336 13. 14. 1,2 15. 解：（1）；（2）（3）16. 2解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为，；， 设平面法向量为，而，所以，可得一个法向量=，设面的一个法向量为， 则， 即，又因为点在棱上，所以. 17. 证明：（1）当时，左边，右边左边，等式成立（2）设当时，等式成立，即 则当时，左边 时，等式成立 由（1）、（2）可知，原等式对于任意成立 18. 解：（1）由题设，得，则（2） 当即当时为常数项19. 证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为.（1）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面面.（2）解：因（3）解：平面的一个法向量设为，平面的一个法向量设为，所求二面角的余弦值为20. 解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：用数学归纳法证明如下：（1）当时，猜想成立；（2）假设当时，猜想成立，即，则当时，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立
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