2019-2020年高三3月模拟考试数学试题.doc

2019-2020年高三3月模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）（xx南京二模）已知集合A=2a，3，B=2，3若AB=1，2，3，则实数a的值为0考点：并集及其运算分析：根据题意，由A与B及AB，易得2a=1，即可得到答案解答：解：集合A=2a，3，B=2，3且AB=1，2，3，则有2a=1，a=0故答案为：0点评：本题考查集合的并集运算，注意要考虑集合元素的互异性2（5分）（xx南京二模）函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期解答：解：sin2x=2sinxcosxf（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函数f（x）的最小正周期T=故答案为：点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题3（5分）（xx南京二模）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为2考点：复数的基本概念专题：计算题分析：利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出解答：解：复数=是纯虚数，解得m=2因此实数m的值为2故答案为2点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键4（5分）（xx南京二模）盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是考点：古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：因为只是从盒子中摸出求，对3只白球和2只黑球标记后无需思考排序问题，用列举法写出从中随机地摸出两只球的所有摸法种数，查出两只球颜色相同的摸法种数，则两只球颜色相同的概率可求解答：解：记3只白球分别为白1，白2，白3，2只黑球分别记为黑1，黑2从中随机地摸出两只球，所有不同的摸法为（白1白2）（白1白3）（白1黑1）（白1黑2）（白2白3）（白2黑1）（白2黑2）（白3黑1）（白3黑2）（黑1黑2）共10种，其中两只球颜色相同的摸法有（白1白2）（白1白3）（白2白3）（黑1黑2）共4种，所以两只球颜色相同的概率是p=故答案为点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了列举法列举随机事件的个数，是基础题5（5分）（xx南京二模）根据xx年初我国发布的环境空气质量指数AQI技术规定（试行），AQI共分为六级：（0，50为优，（50，100为良，（100，150为轻度污染，（150，200为中度污染，（200，300为重度污染，300以上为严重污染2012年12月1日出版的A市早报对A市xx年11月份中30天的AQI进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A市该月环境空气质量优、良的总天数为12考点：频率分布直方图专题：图表型分析：根据频率分布直方图，估计该月环境空气质量优、良的频率和，进而根据频数=频率样本容量可得答案解答：解：由频率分布直方图得：样本中“环境空气质量优、良”的频率为（0.002+0.006）50=0.044分由样本估计总体，A市该月环境空气质量优、良的总天数为0.0430=12天 8分故答案为：12点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图中频率=矩形的高组距是解答的关键6（5分）（xx南京二模）如图是一个算法流程图，其输出的n的值是5考点：程序框图分析：本题是一个循环结构，由图可以看出此循环体执行5次，由于每次执行都是对S加上3n，由此规律计算出结果解答：解：此图，此循环体共执行了5次，第一次执行S=1+3=4，n=2；第二次执行后TS=1+3+6=10，n=3；第三次执行后，S=1+3+6+9=19，n=4；第四次执行后，S=1+3+6+9+12=31，n=5；此时S=3120，故退出循环体，输出n=5故答案为：5点评：本题考查循环结构，解题的关键是根据框图得出算法以及运行的过程，从而计算出所要的结果7（5分）（xx南京二模）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为cm考点：点、线、面间的距离计算；弧长公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题：计算题；空间位置关系与距离分析：设此圆的底面半径为r，高为h，母线为l，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r=1，再根据勾股定理得h=2cm，即得此圆锥高的值解答：解：设此圆的底面半径为r，高为h，母线为l，则圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为的扇形，l=3，得2r=l=2，解之得r=1因此，此圆锥的高h=2cm故答案为：2点评：本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径为和圆心角，求圆锥高的大小着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题8（5分）（xx南京二模）在平面直角坐标系xOy中，设过原点的直线l与圆C：（x3）2+（y1）2=4交于M、N两点，若MN，则直线l的斜率k的取值范围是0，考点：直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：如图所示，过点C作OEMN，垂足为E，连接CM由|MN|，则可得|CE|，利用点到直线的距离公式求出|CE|即可解答：解：如图所示，过点C作OEMN，垂足为E，连接CM设直线MN的方程为y=kx，则|CE|=，|MN|，化为4k23k0，解得故直线l的斜率k的取值范围是故答案为点评：熟练掌握直线与圆相交时弦长l、半径r及弦心距d三者之间的关系及点到直线的距离公式是解题的关键9（5分）（xx南京二模）设数列an是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，若，S5=5，则a7的值为9考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：设出等差数列的公差，由题意列关于首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差，则a7的值可求解答：解：设等差数列an的公差为d（d0），由，S5=5，得，整理得，解得所以a7=a1+6d=3+62=9故答案为9点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了学生的计算能力，是基础题10（5分）（xx南京二模）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x13，则不等式f（x）1的解集为（2，0）（3，+）考点：奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：当x=0时根据奇函数的特性得f（x）=0，故原不等式不成立；当x0时，原不等式化成2x131，解之可得x3；当x0时，结合函数为奇函数将原不等式化为2x131，解之可得2x0最后综合即可得到原不等式的解集解答：解：当x=0时，f（x）=0，显然原不等式不能成立当x0时，不等式f（x）1即2x131化简得2x14，解之得x3；当x0时，不等式f（x）1可化成f（x）1，即f（x）1，x0，可得f（x）=2x13，不等式f（x）1化成2x131，得2x12，解之得2x0综上所述，可得原不等式的解集为（2，0）（3，+）点评：本题给出奇函数在大于0时的不等式，求不等式f（x）1的解集着重考查了函数的奇偶性、函数解析式的求法和指数不等式的解法等知识，属于基础题11（5分）（xx南京二模）在ABC中，已知AB=2，BC=3，ABC=60，BDAC，D为垂足，则的值为考点：向量在几何中的应用专题：平面向量及应用分析：因为 BD 是 AC 边上的高，所以 BD丄CC，=0，故有=（ +）=2+=由ABC的面积=ABBCsin60=ACBD结合余弦定理能求出 BD的长，从而得出结果解答：解：BD是AC边上的高，BD丄AC，=0，=（ +）=2+=又ABC的面积=ABBCsin60或ABC的面积=ACBDABBCsin60=ACBD23sin60=BDBD=故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意向量垂直的合理运用12（5分）（xx南京二模）关于x的不等式（2ax1）lnx0对任意x（0，+）恒成立，则实数a的值为考点：函数恒成立问题专题：综合题；不等式的解法及应用分析：依题意，对x（0，1，x1，+）分类讨论，构造f（x）=，利用函数的单调性即可求得实数a的值解答：解：（2ax1）lnx0对任意x（0，+）恒成立，当x（0，1时，lnx0，2ax10，a（0x1），令f（x）=，则f（x）在（0，1上单调递减，f（x）min=f（1）=a当x1，+）时，lnx0，（2ax1）lnx0对任意x（0，+）恒成立2ax10对任意x（0，+）恒成立，同理可求af（x）max=f（1）=由得：a=故答案为：点评：本题考查函数恒成立问题，考查构造函数与分类讨论思想，考查函数的单调性，属于难题13（5分）（xx南京二模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：设过点M（0，1）的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则直线l的斜率为考点：双曲线的简单性质；直线的斜率专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设直线AB方程为y=kx+1，与双曲线方程联解得（34k2）x28kx16=0设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可得x1+x2=且x1x2=，根据得x1=2x2，将三个式子联解，即可得到直线l的斜率解答：解：设直线AB方程为y=kx+1，与双曲线消去y，得（34k2）x28kx16=0设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系，得（1），可得x1=2x2，代入（1）得，消去x2得2（）2=，解之得k2=，得k=故答案为：点评：本题给出经过点M（0，1）的直线l交双曲线于AB两点，在已知的情况下求直线的斜率着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与双曲线位置关系等知识，属于中档题14（5分）（xx南京二模）已知数列an的通项公式为an=7n+2，数列bn的通项公式为若将数列an，bn中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列cn，则c9的值为961考点：等差数列与等比数列的综合专题：等差数列与等比数列分析：由数列an的通项公式为an=7n+2，数列bn的通项公式为可分析出当m=7k+4或m=7k+5，kZ时，bm才能在an中出现，即为公共项进而得到答案解答：解：令an=bm，即7n+2=m2，设kZ，1若m=7k，则bm=49k2=7（7k2）an2若m=7k+1，则bm=（7k+1）2=49k2+14k+1=7（7k2+2k）+1an3若m=7k+2，则bm=（7k+2）2=49k2+28k+4=7（7k2+4k）+4an4若m=7k+3，则bm=（7k+3）2=49k2+42k+9=7（7k2+6k+1）+2an5若m=7k+4，则bm=（7k+4）2=49k2+56k+16=7（7k2+8k+2）+2an6若m=7k+5，则bm=（7k+5）2=49k2+70k+25=7（7k2+10k+3）+4an7若m=7k+6，则bm=（7k+6）2=49k2+84k+36=7（7k2+12k+5）+1，不an故当m=7k+3和m=7k+4，kZ时，项bm才能在an中出现，即为公共项所以公共项为b3，b4，b10，b11，b17，b18，b24，b25，b31，b32，所以c9=312=961故答案为：961点评：本题考查的知识点是等差数列和等比数列，其中分析出当m=7k+4或m=7k+5，kZ时，bm才能在an中出现，即为公共项，是解答的关键二、解答题：本大题共6小题，共90分15（14分）（xx南京二模）在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，（1）求B； （2）若，求cosC的值考点：正弦定理；两角和与差的正切函数专题：解三角形分析：（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式、特殊角的三角函数值即可得出；（2）利用两角和的正切公式平方关系、诱导公式、两角和的余弦公式即可得出解答：解：（1）由正弦定理得，化为sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，sin（B+C）=2sinAcosB，B+C=A，sinA=2sinAcosB，A（0，），sinA0，得到又B（0，），（2），解得A（0，）A为锐角，cosC=cos（AB）=cos（A+B）=cosAcos+=点评：熟练掌握正弦定理、两角和的正弦余弦正切公式、诱导公式、特殊角的三角函数值是解题的关键16（14分）（xx南京二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，PB平面ABCD，CDBD，PB=AB=AD=1，点E在线段PA上，且满足PE=2EA（1）求三棱锥EBAD的体积；（2）求证：PC平面BDE考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离分析：（1）先作垂线，求棱锥的高，再根据体积公式求棱锥的体积；（2）根据在三角形中分相邻两边等比例的线段平行于底边，证线线平行，再由线线平行证明线面平行解答：解：（1）过E作EFAB，垂足为F，PB平面ABCD，平面PAB平面ABCD，又平面PAB平面ABCD=AB，EF平面PAB，EF平面ABCD，即EF为三棱锥EBAD的高，EFPB，PE=2EA，PB=1，EF=，CDBD，梯形ABCD为直角梯形，A=90，AB=AD=1，VEBAD=SBADEF=（2）证明：连接AC交BD与G，连接EG，A=90，AB=AD=1，BD=，CBD=45，CDBD，BC=2，ADBC，BC=2，AD=1，=，PE=2EA，EGPC，又PC平面BDE，EG平面BDE，PC平面BDE点评：本题考查线面平行的判定及棱锥的体积17（14分）（xx南京二模）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，AOB=60，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由考点：余弦定理；正弦定理专题：计算题；解三角形分析：由题意，得四边形ODCE是平行四边形，连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y，可得OCD中ODC=180AOB=120利用余弦定理得r2=x2+y2+xy，再由基本不等式算出x+yr，当且仅当x=y=r时等号成立由此可得当点C取在弧AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大解答：解：根据题意，四边形ODCE是平行四边形因为AOB=60，所以ODC=180AOB=120连接OC，设OC=r，OD=x，OE=y在OCD中，根据余弦定理得OC2=OD+2DC22ODDCcos120即r2=x2+y2+xy（x+y）2=r2+xyr2+（）2解之得（x+y）2r2，可得x+yr，当且仅当x=y=r时，等号成立x+y的最大值为r，此时C为弧AB的中点答：当点C取在弧AB的中点时，可使修建的道路CD与CE的总长最大点评：本题给出圆心角为60度的扇形场地，求修建道路CD与CE的总长最大最大值着重考查了利用余弦定理解三角形、基本不等式求最值等知识，属于中档题18（16分）（xx南京二模）已知数列an的各项都为正数，且对任意nN*，都有（k为常数）（1）若，求证：a1，a2，a3成等差数列；（2）若k=0，且a2，a4，a5成等差数列，求的值；（3）已知a1=a，a2=b（a，b为常数），是否存在常数，使得an+an+2=an+1对任意nN*都成立？若存在求出；若不存在，说明理由考点：数列递推式；等差关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（1）把，代入，令n=1化简即可证明；（2）当k=0时，由于数列an的各项都为正数，可得数列an是等比数列，设公比为q0，根据a2，a4，a5成等差数列，可得a2+a5=2a4，即，解出即可；（3）存在常数=，使得an+an+2=an+1对任意nN*都成立由，及，可得，由于an0，两边同除以anan+1，得到，进而=，即当nN*时，都有，再利用已知求出a1，a2，a3即可证明解答：（1）证明：，令n=1，则，a10，2a2=a1+a3，故a1，a2，a3成等差数列；（2）当k=0时，数列an的各项都为正数，数列an是等比数列，设公比为q0，a2，a4，a5成等差数列，a2+a5=2a4，a10，q0，q32q2+1=0，化为（q1）（q2q1）=0，解得q=1或或（3）存在常数=，使得an+an+2=an+1对任意nN*都成立证明如下：，即，由于an0，两边同除以anan+1，得到，=，即当nN*时，都有，a1=a，a2=b，a3=存在常数=，使得an+an+2=an+1对任意nN*都成立点评：本题综合考查了等比数列与等差数列的定义及通项公式，灵活的变形推理能力和计算能力19（16分）（xx南京二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：过点（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（x0，y0）在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为x0x+3y0y6=0求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）把A，B的坐标代人椭圆的方程即可解得a2，b2；（2）把直线l的方程与椭圆的方程联立，证明=0即可；把直线l的方程为x0x+3y0y6=0与过点F且与直线l垂直的方程为3y0xx0y+6y0=0联立即可得到交点坐标，再利用中点坐标公式即可得到其对称点Q的坐标，得到直线PQ的方程即可证明解答：解：（1）由题意得解得所以所求椭圆C的方程为（2）联立，消去y得（*）由于点P（x0，y0）在椭圆C上，化为故（*）可化为所以方程组仅有一组解（x0，y0），即直线与椭圆有唯一公共点点F（2，0），过点F且与直线l垂直的方程为3y0xx0y+6y0=0解方程，得，因为P（x0，y0）在椭圆，所以解即为所以点F（2，0）关于直线l的对称点的坐标为Q当x02时，=所以直线PQ的方程为即（x2）y0yx0+2y=0，即直线过定点M（2，0）点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立得到根与系数的关系、轴对称、中点坐标公式、直线过定点问题等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力20（16分）（xx南京二模）设函数f（x）=x2（a2）xalnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明专题：导数的综合应用分析：（1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出；（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a0，且f（x）的最小值，即可化为h（a）=利用单调性判断其零点所处的最小区间即可得出；（3）由x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a0不妨设0x1x2则，两式相减得+alnx2=0，化为a=由，当时，f（x）0，当时，f（x）0故只要证明即可，即证明，令换元，再利用导数即可证明解答：解：（1）x（0，+）=当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+）当a0时，由f（x）0得；由f（x）0，解得所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a0，且f（x）的最小值，即a0，令h（a）=a+4，可知h（a）在（0，+）上为增函数，且h（2）=2，h（3）=，所以存在零点h（a0）=0，a0（2，3），当aa0时，h（a）0；当0aa0时，h（a）0所以满足条件的最小正整数a=3又当a=3时，f（3）=3（2ln3）0，f（1）=0，a=3时，f（x）由两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3（3）x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a0不妨设0x1x2则，两式相减得+alnx2=0，化为a=，当时，f（x）0，当时，f（x）0故只要证明即可，即证明x1+x2，即证明，设，令g（t）=lnt，则=1t0，g（t）0g（t）在（0，1）上是增函数，又在t=1处连续且g（1）=0，当t（0，1）时，g（t）0纵成立故命题得证点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值等基础知识，及其分类讨论思想方法、等价转化方法、换元法等基本技能与方法