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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 必修1,函 数,第二章,本章归纳总结,第二章,函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终，配方法、换元法、待定系数法等基本方法，特殊化思想、分类讨论思想、数形结合等数学思想在本章中有较大应用，通过学习幂函数、二次函数，体会函数思想在数学和其他学科中的重要性，因此说函数是中学数学的一条主线，是中学数学的重要内容，是学习数学其他知识和分支的基础,1函数的概念 函数的实质是两个非空数集之间的一种特殊映射 学习时要注意体会用函数的思想解方程、不等式，要善于总结归纳求函数的定义域、值域的常见题型及相应的求解思路 2函数的图像 函数的图像可以形象地揭示函数的有关性质在考试题中主要考查基本初等函数的图像特征及函数的图像变换要学会利用函数的图像来解题，若题目中已给出图像，应注意深入挖掘图像中所反映出的有助于解题的明显信息和隐含信息；若题目中未给出图像，应有意识地画出函数的草图,3函数的性质 函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性，这是考试考查的重点中的重点，与此相关的综合题，不仅局限于函数本身的综合，还可以是与不等式的交叉综合，但归根结底都要利用函数的性质来进行解题,4二次函数 熟练掌握二次函数的三种表示方式： (1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)； (2)顶点式：f(x)a(xk)2h(a0)； (3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) 二次函数与二次方程密切联系，在解决二次函数的有关问题，特别是含参数的二次方程的有关问题时，通常借助于二次函数的图像特征(如单调区间、与坐标轴的交点、对称轴的位置、最值等),函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，它是两个非空数集间的映射，它要求任给一个自变量的值，都有唯一的函数值与之对应，由此可判断在某种对应关系f的作用下，从非空数集A到非空数集B的对应是否是函数函数的表示方法主要有列表法、图像法、解析法在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是非常重要的函数的图像是变量间关系的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势函数图像广泛地应用于解题过程当中，利用数形结合解题直观、明了、易懂，在历届高考中，常出现有关函数图像和利用图像解题的试题,函数的概念及表示法,例1 已知函数f(x)的定义域为1,3，在同一坐标系下，函数yf(x)的图像与直线x1的交点个数为 ( ) A0 B1 C2 D0或1 解析 f(x)的定义域为1,3，而11,3，点(1，f(1)在函数yf(x)的图像上，又在直线x1上 由于函数的定义知，函数是一种特殊的对应，即对于定义域1,3中的任意一个元素，在其值域中有唯一确定的元素与之对应，故直线x1与yf(x)的图像有且只有一个交点 答案 B,例2 客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图像中，正确的是( ),1.直接法 求基本初等函数(正、反比例函数，一次、二次函数)的最值，应用基本初等函数的最值结论，直接写出其最值 例3 函数f(x)x24x3在0,3上的值域是 ( ) A0,3 B1,0 C0,2 D1,3,求函数最值(值域)的方法,解析 f(x)(x2)21，0x3， f(x)minf(2)1， f(x)maxf(0)3. 1f(x)3. 答案 D,例4 求下列函数的值域 (1)y3x1，x1,2,3,4；(2)y|x|1. 解析 (1)y3x1，x1,2,3,4， y2,5,8,11 函数的值域为2,5,8,11 (2)|x|0，|x|11. 函数的值域为1，),3配方法 当函数的解析式中出现二次式的结构时，常用配方法求值域,5图像法 画出函数图像，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值 例7 函数y|x1|x1|的最大值是_,6单调性法 先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值常用到下面的结论：如果函数yf(x)在区间(a，b上是增加的，在区间b，c)上是减少的，则函数yf(x)在xb处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间(a，b上是减少的，在区间b，c)上是增加的，则函数yf(x)在xb处有最小值f(b),7分离常数法 注意到分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法求出值域,研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求其中，单调性是在某个区间上刻画函数值随自变量的变化而变化的趋势；奇偶性是从整个定义域内反映函数的对称性质对函数的这两个性质，不仅会从图像上直观感知，还要能利用它们解决有关函数问题,函数的性质及应用,抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上的恒等式，利用变量代换解题,抽象函数问题,分析 令xy1，得f(1)，将抽象不等式f(x)f(2x)2转化为关于x的不等式组 解析 (1)令xy1，则f(1)f(1)f(1)， f(1)0.,1.数形结合思想 函数的数形结合思想是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，尤其是在新课标“多考一点想，少考一点算”的指导下，数形结合将成为考查学生理性思维的一个切入口,函数中的思想方法,2分类讨论思想 当某些数学问题含有参数时，常常运用分类讨论的思想，把问题转化为小问题一一解决 分类讨论相当于增加了具体的条件，使思路更加开阔分类标准视具体情形确定，但要遵循“不重复、不遗漏”的原则,答案 B,答案 A,3二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，又f(x)在0,2上是增函数，且f(a)f(0)，那么实数a的取值范围是( ) A0，) B(，0 C0,4 D(，04，) 答案 C,答案 A,5已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于( ) A4 B3 C2 D1 答案 B,二、填空题 6函数y|x22x3|的单调增区间是_ 答案 1,1，3，) 解析 y|x22x3|的图像如图所示，由图像法直接得出增区间,8函数f(x)是定义域R上的偶函数，且f(x)在(，0上为减函数，则f(1.5)，f()，f(2)的大小顺序为(用号连接起来)_ 答案 f(1.5)f(2)f() 解析 由f(x)是偶函数，且在(，0上为单调减函数，可得f(x)在0，)上为单调增函数，f(1.5)f(2)f()，而f(2)f(2)， f(1.5)f(2)f(),三、解答题 9奇函数f(x)的定义域为R，且在0，)上为增函数，是否存在m使f(2t24)f(4m2t)f(0)对tR均成立？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由,
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