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2.1.3 演绎推理,1.演绎推理 (1)含义:从一般性的原理出发,推出某个_下的结论,我们把这种推理称为演绎推理. (2)特点:演绎推理是由_到_的推理.,特殊情况,一般,特殊,2.三段论,已知的一般原理,所研究的特殊情况,特殊情况,【要点探究】 知识点 演绎推理 1.演绎推理的三个特点 (1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中. (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具. (3)演绎推理是由一般到特殊的推理.,2.对“三段论”的三点说明 (1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系,从而得到了第三个命题结论. (2)若集合M的所有元素都具有性质P,S是M中的一个子集,那么S中的元素也具有性质P;若M中的元素都不具有性质P,则S中的元素也不具有性质P. (3)从以上两点可以看出:三段论推理的结论正确与否,取决于两个前提是否正确,推理形式(即S与M的包含关系)是否正确.,【知识拓展】合情推理与演绎推理的区别与联系,【即时练】 1.(2014厦门高二检测)已知幂函数f(x)=x是增函数,而 y=x-1是幂函数,所以y=x-1是增函数,上面推理错误是( ) A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理的方式错误导致错 D.大前提与小前提都错误导致错 【解析】选A.大前提为:f(x)=x是增函数,在f(x)=x中当0时f(x)为增函数,显然大前提是错误的.,2.函数y=2x+5的图象是一条直线,用三段论表示为: 大前提 . 小前提 . 结论 .,【解析】根据三段论模式分析题意可知: 一次函数y=kx+b(k0)的图象是一条直线,大前提 y=2x+5是一次函数,小前提 函数y=2x+5的图象是一条直线.结论 答案:一次函数y=kx+b(k0)的图象是一条直线 y=2x+5是一次函数 函数y=2x+5的图象是一条直线,【题型示范】 类型一 用三段论证明几何问题 【典例1】(2014湛江高二检测)推理:“矩形是平行四边形;正方形是矩形;所以正方形是平行四边形”中的小前提是 .,【自主解答】(1)推理:“矩形是平行四边形,正方形是矩形,所以正方形是平行四边形”中: 矩形是平行四边形,大前提 正方形是矩形,小前提 所以正方形是平行四边形.结论 答案:,【变式训练】如图,ABC中,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,BFD=A,DEBA.求证ED=AF,写出“三段论”形式的演绎推理.,【解题指南】只需证明四边形AEDF为平行四边形即可.,【证明】因为同位角相等,两直线平行,大前提 BFD与A是同位角,且BFD=A,小前提 所以FDAE.结论 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 大前提 DEBA,且FDAE,小前提 所以四边形AFDE为平行四边形.结论 因为平行四边形的对边相等,大前提 ED和AF为平行四边形AFDE的对边,小前提 所以ED=AF.结论,类型二 演绎推理在代数证明中的应用 【典例2】 (1)(2014温州高二检测)由“(a2+a+1)x3,得x ” 的推理过程中,其大前提是 . (2)已知函数f(x)=ax+ (a1),证明:函数f(x)在(-1,+) 上为增函数.,【解题探究】1.题(1)中的大前提怎样找? 2.题(2)中证明的方法是什么? 【探究提示】1.将推理过程写成三段论的形式. 2.利用增函数的定义或利用f(x)0证明.,【解题探究】1.题(1)中的推理是什么形式? 【探究提示】1.题中的推理是三段论的形式. 2.先将文字语言转化为几何语言,利用平行线的性质去寻求角的关系.,【自主解答】(1)该推理过程写成三段论形式: 不等式两边同除以一个正数,不等号的方向不变,大前提 (a2+a+1)x3,a2+a+1大于0,小前提 x .结论 答案:不等式两边同除以一个正数,不等号方向不变,(2)(定义法)任取x1,x2(-1,+), 且x1x2,f(x2)-f(x1),因为x2-x10,且a1,所以 1. 而-10,x2+10, 所以f(x2)-f(x1)0, 所以f(x)在(-1,+)上为增函数.,【方法技巧】代数问题中的常见的利用三段论证明的命题 (1)函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等. (2)导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和最值,证明与函数有关的不等式等. (3)三角函数的图象与性质. (4)数列的通项公式、递推公式以及求和,数列的性质. (5)不等式的证明.,【变式训练】证明f(x)=x3+x在R上为增函数,并指出证明过程中所运用的“三段论”.,【证明】在R上任取x1,x2,且x10. 因为f(x)=x3+x, 所以f(x2)-f(x1)=( +x2)-( +x1) =( - )+(x2-x1) =(x2-x1)( +x2x1+ +1) =(x2-x1),因为 所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1), 所以f(x)=x3+x在R上是增函数. 在证明过程中所用到的“三段论”:大前提是“增函数的定义”,小前提是“题中的f(x)经过正确的推理满足增函数的定义”,结论是“f(x)是增函数”.,【方法技巧】应用演绎推理的一般思路 在运用演绎推理,即三段论证明问题时要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的、严密的,才能得出正确的结论.,【易错误区】忽略大前提而致误 【典例】(2014深圳高二检测)已知2sin2+sin2=3sin,则sin2+sin2的取值范围为 .,【解析】由2sin2+sin2=3sin 得sin2+sin2=-sin2+3sin 因为0sin21,sin2=3sin-2sin2, 所以03sin-2sin21. 解之得sin =1或0sin , 令y=sin2+sin2,当sin=1时,y=2. 当0sin 时,0y . 所以sin2+sin2的取值范围是0, 2. 答案:0, 2,【常见误区】,【防范措施】 1.正确理解大前提 解题过程中,要对大前提把握好,正确认识大前提是解题的关键,如本例中sin的取值范围. 2.挖掘题中的隐含条件 解题时要对题目中的隐含条件挖掘到位,不能遗漏,否则会出现失误,如本例中sin=1易漏掉.,
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