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2.1曲线的参数方程,引入,1.曲线上点M（x,y)直接满足方程f (x , y) =0时；方程f (x , y) =0就是曲线的方程。,2.当方程中x与y之间的关系不易发现时，可通过另一个变量寻找他们的关系;即要找一个参数。,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？,探究活动：,建立平面直角坐标系：,如图，设飞机在点A将物资投出机舱在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线，y轴经过点A垂直于交线的直线,研究物资的位置：,物资位置如何刻画？,由物理知识：物资的运动是下列两种运动的合成,1.沿Ox方向以100m/s的速度作匀速直线运动,知识联系:,x=100t,2.沿Oy的反方向作自由落体运动,由上面分析可知：,在此，g是常数，当 t 取某一个 允许值时，由上面方程可确定物资 的位置。,什么叫允许值？,由实际所决定的 t的取值范围,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数,参数方程的定义：,并且对于t的每个允许值，由方程组(2)所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程（2）就叫这条曲线的参数方程,其中： t 参变数（简称参数）,关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y 桥梁, 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围,参数方程的定义：,普通方程：,相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程.,由上面参数方程回答： 1、当 g 取10m/s2,参数方程应为什么 2、 此时，t的允许取值范围是什么？ 3、当投出物资离投出点A 700米时，物资离地面的高度是多少？,利用参数方程 解决问题,0，10,255米,一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）,变式:,1、判断点M1(0，1)， M2(5，4)与曲线C的位置关系；,例题讲解：,2、已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值,解（1）把点M1的坐标（0，1）代 入方程组，解得t0，所以M1 在曲线C上。 把点M2的坐标（1，3）代入方 程组，方程组无解，所以M2不 在曲线C上。,2、方程 所表示的曲线上一点 的坐标是（ ）,练习1,A、（2，7）；B、 C、 D、（1，0）,1、曲线 与x轴的交点坐 标是( ) A、（1，4）；B、 C、 D、,B,已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上. （1）求常数a; （2）求曲线C的普通方程.,解:,(1)由题意可知:,1+2t=5,at2=4,解得:,a=1,t=2, a=1,(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:,由第一个方程得:,代入第二个方程得:,练习2：,思考题：动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的轨迹参数方程。,解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得,所以，点M的轨迹参数方程为,参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 (x,y) （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程,小结：,并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，,那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。,作业：教材P26. 1 ,2,3、参数方程和普通方程 的互化,参数方程和普通方程的互化：,（1）普通方程化为参数方程需要引入参数,（t为参数）,如：直线L 的普通方程是 2x-y+2=0，,设x=t,(t为参数, )，可以化为参数方程,（为参数）,令x = tan, 可以化为参数方程,在普通方程 中，,（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程,如：参数方程,消去参数,可得圆的普通方程 (x-a)2+(y-b)2=r2.,注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,参数方程,（t为参数）,可得普通方程：y=2x-4,通过代入消元法消去参数t ,（x0）,例1、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？,例2,思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，,代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,1、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.,注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值 范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,在y=x2中，xR, y0，,分析:,发生了变化，因而与 y=x2不等价；,在A、B、C中，x,y的范围都,而在中，,且以,练习:,D,2、求参数方程,表示,（ ）,B,分析,一般思路是：化参数方程为普通方程,求出范围、判断。,解,x2=,=1+sin=2y，, 普通方程是x2=2y，为抛物线。,，又02，,0x,，故应选（B）,说明:,这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法,是最好的方法。,练习、将下列参数方程化为普通方程：,(1),(2),（1）（x-2）2+y2=9,（2）y=1- 2x2（- 1x1）,（3）x2- y=2（x2或x- 2）,步骤：（1）消参； （2）求定义域。,小 结,
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