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,高中数学必修2湘教版,第4章 向量 4.5 向量的数量积 4.5.1 向量的数量积,学习目标 1理解向量数量积的含义及其物理意义，体会向量数量积与向量投影的关系 2能正确熟练地应用向量数量积的定义、运算律进行运算,预习导学,知识链接 1如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功W是多少？ 答 W|F|s|cos,预习导学,2向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ 答 向量的数量积ab是一个实数，不考虑方向；数乘向量a是一个向量，既有大小，又有方向,预习导学,预习导引 1两个向量的夹角 规定a，b为a，b之间所夹的 的 角，取值范 围规定为 2向量的数量积(内积)定义 |a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cosa，b,预习导学,最小,非负,0，,3定理5：数量积的运算律 (1)交换律：abb a，对任意向量a，b成立； (2)与数乘的结合律：(ab)(a)ba(b)，对任意向量a，b和实数成立； (3)分配律：(aa)babab，对任意向量a，a，b成立.,预习导学,课堂讲义,要点一 平面向量数量积的基本概念 例1 下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影长其中正确的是_ 答案 ,课堂讲义,解析 由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，正确；a，b共线ab|a|b|，所以错 对于，应有|a|b|ab，所以错； 对于，应该是aaa|a|2a，所以错； a2b22|a|b|2ab，故正确； 当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错； |b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故错 综上可知正确,课堂讲义,规律方法 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等,课堂讲义,跟踪演练1 已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中真命题的个数为 ( ) ab|a|b|ab；a、b反向ab|a|b|；ab|ab|ab|；|a|b|ac|bc|. A1 B2 C3 D4 答案 C,课堂讲义,解析 ab|a|b|cos ，由ab|a|b|及a、b为非零向量可得cos 1，0或.ab，且以上各步均可逆，故命题是真命题 若a、b反向，则a、b的夹角为，ab|a|b|cos |a|b|，且以上各步均可逆，故命题是真命题 当ab时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|ab|ab|.反过来，若|ab|ab|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，ab，故命题是真命题,课堂讲义,当|a|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|ac|bc|，反过来由|ac|bc|也推不出|a|b|.故命题是假命题 综上，在四个命题中，前3个是真命题，第4个是假命题,课堂讲义,要点二 平面向量数量积的基本运算 例2 已知|a|3，|b|6，当ab，a与b的夹角是60时，分别求ab. 解 当ab时， 若a与b同向，则它们的夹角0， ab|a|b|cos 036118；,课堂讲义,规律方法 非零向量共线的充要条件是ab|a|b|，因此， 当ab时，有0或180两种可能,课堂讲义,跟踪演练2 若向量a、b、c满足abc0，且|a|3，|b|1， |c|4，求abbcca.,当堂检测,答案 C,当堂检测,2若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_.,当堂检测,答案 25,当堂检测,当堂检测,1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时) 2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆,当堂检测,
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