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2.3 两角和与差的正切函数,两角和与差的正切公式,sincos-cossin,coscos+sinsin,sincos+cossin,coscos-sinsin,1判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)tan()=tan tan .( ) (2)tan(+)= ( ) (3)tan(40+50)= ( ) (4)tan 120=tan(30+90)= ( ),【解析】(1)错误，因为tan()= (2)错误，因为tan(+)= (3)错误，tan(40+50)中40+50=90,不成立. (4)错误,因为tan 90不存在. 答案：(1) (2) (3) (4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)tan(30+45)=_. (2)tan(60-45)=_. (3) =_. (4) =_.,【解析】(1)原式= 答案： (2)原式= 答案：2-,(3)原式=tan(78-18)=tan 60= . 答案： (4)原式=tan(22+23)=tan 45=1. 答案：1,【要点探究】 知识点 正切的和、差角公式T 1.公式成立的条件 角,以及均不能等于k+ (kZ)，且tantan 1(或tan tan -1).,2.结构特征 公式T的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和.,3.符号规律：分子同，分母反.,【微思考】 (1)正用T时应注意什么? 提示：应注意角及,的范围及分母不为零； 分子、分母中间符号的选取及“1”的位置. (2)逆用T的关键是什么？ 提示：利用相关三角知识将逆用的三角函数式化简到T公式右边的结构，再逆用公式.,【即时练】 1.tan(-165)的值是( ) 2.计算 的值为_.,【解析】1.选C.原式=tan 15=tan(60-45) = 2. =tan(45-75)= 答案：,【题型示范】 类型一 利用T求值 【典例1】 (1)(2014渭南高一检测)已知 那么 =_. (2)(2013焦作高一检测)化简: =_. (3)设tan ，tan 是方程ax2-(2a+1)x+(a+2)=0的两根，求 tan(+)的最小值.,【解题探究】 1.题(1)中+ ,可拆分为+与- 的关系吗？ 2.题(2)中所求式子能否化为 的形式？ 3.分析公式T+的整体结构，题(3)中要求tan(+),需要 知道哪些量？,【探究提示】1. 2.可化为 的形式. 3.需要知道tan 与tan 的和与积.,【自主解答】(1)因为 所以 = 答案： (2)原式= 答案:1,(3)由tan ，tan 是方程的两根得： 且a0， 又 所以tan(+)= 所以tan(+)的最小值是,【延伸探究】 若将题(2)中式子变为“ ”，则 其化简结果如何？ 【解析】原式=,【方法技巧】 1.从三个角度入手直接利用公式T求值 (1)复角化单角:公式tan()= 及tan(+) = 反映了复角化单角的思想，即要求的正 切函数值，只需知道tan 和tan 的值，代入求解便可. (2)整体意识：公式T中有两个小团体“tan tan ” 及“tan tan ”，求解时可利用整体思想代入求解.,(3)角的配凑：公式T中,只代表了角的某一形式，其 可能是单纯的，也可能是某些小团体，如等式 中 相当于, 相当于.,2.逆用公式的技巧 在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用： 公式的逆用和特殊角三角函数的逆用.当式子中出现 这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提 示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以 构成适合公式的形式，从而达到化简的目的.,【变式训练】已知tan(+)=5，tan(-)=3，求tan 2， tan 2， 【解题指南】利用2=(+)+(-)，2=(+)-(- ). 进行求解.,【解析】tan 2=tan (+)+(-) = tan 2=tan (+)-(-) =,【补偿训练】 若 则 =_. 【解析】 答案:,类型二 利用公式T求角 【典例2】 (1)(2014汉中高一检测)已知tan ，tan 是方程x2+ x+4=0的两根，且 则+的值为 ( ),(2)(2014上饶高一检测)已知tan(-)= ,tan = , 且,(0,), 求tan ; 求2-的值.,【解题探究】 1.一元二次方程ax2+bx+c=0中，根与系数有怎样的关系？ 2.题(2)中是否可拆分为-与的和或差?2-是否可拆分为与-的和或差? 【探究提示】1.x1+x2= x1x2= 2.=(-)+,2-=+(-).,【自主解答】(1)选B.由已知得,tan +tan = tan tan =4，所以tan 0，tan 0, tan (+)= 所以- 0,- 0， 所以-+0,所以+=,(2)tan =tan(-)+= tan(2-)=tan(-)+= 又，(0,),tan = 1,tan = 0, 所以 所以2-(-,0),故2-=,【方法技巧】利用公式T求角的步骤 (1)求值.计算待求角的正切函数值. (2)求范围.借助已知角的范围及题目隐含信息，求相关角的范围，注意角的范围越小越好. (3)求角.借助角的范围及角的三角函数值求角.,【变式训练】在ABC中，tan A+tan B+ = tan Atan B， 则角C等于( ) 【解析】选A.由题意tan A+tan B=- (1-tan Atan B)， 故tan(A+B)= 又A+B+C=，所以,【补偿训练】(2013新余高一检测)已知tan(+)= , tan = ,且 (1)求tan 的值. (2)求2+的值. 【解析】(1)tan =tan(+-)=,(2)tan(2+)=tan+(+)= 又因为 且tan(+)= 0,所以+ 所以2+(0,),所以2+= .,拓展类型 利用公式T的变形求值 【备选例题】(1)化简：tan 10tan 20+tan 20tan 60 +tan 60tan 10的值等于( ) A.1 B.2 C.tan 10 D. tan 20 (2)化简:(1+tan 1)(1+tan 2)(1+tan 44).,【解析】(1)选A.因为tan (20+10) = 所以tan 20+tan 10=tan 30(1-tan 20tan 10)， 所以原式=tan 10tan 20+ tan 30(1-tan 20tan 10) =tan 10tan 20+1-tan 20tan 10=1.,(2)由两角和的正切公式可知： 可知：tan 1+tan 44=1-tan 1tan 44， 所以tan 1+tan 44+tan 1tan 44=1. 所以(1+tan 1)(1+tan 44) =1+tan 1+tan 44+tan 1tan 44=2， 同理(1+tan 2)(1+tan 43)=2， 所以(1+tan 1)(1+tan 2)(1+tan 44)=222.,【方法技巧】 1.两角和的正切公式的几种变形 (1)tan +tan =tan(+)(1-tan tan ). (2)1-tan tan = (3)tan +tan +tan tan tan (+)= tan (+). (4)tan tan =,2.应用T变形公式的解题技巧 解答由异角正切值的和或差或积构成的三角求值问题时，常将待求式变形为满足T变形公式的结构，从而应用变形公式求值.,【规范解答】两角和与差的正切公式的综合应用 【典例】(12分)(2014淮南高一检测)如图， 在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两 个锐角,，它们的终边分别与单位圆交于 A,B两点已知A,B的横坐标分别为 (1)求tan()的值. (2)求2的值,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升 失分点1：解题时若在处漏掉为锐角，会使sin 的结果出现正负两个值，则会导致多解而失分. 失分点2：解题时若在处不会把+2变形为(+)+，使得下面无法进行而导致此题最多得6分. 失分点3：解题时若在处忽视用和的范围来限制+2的范围，而直接得+2的值，最多得10分.,【悟题】提措施，导方向 1.确定角的范围 由于角的范围会直接影响三角函数方程解的个数,因此,角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素. 2.注意挖掘隐含条件 在确定所求角的范围时除了考虑给定的角的范围外,还要从给定的三角函数值上进一步缩小角的范围,防止出现增根.,【类题试解】(2014宝鸡高一检测)三个相同的正方形并排相 连.求证:+= .,【证明】由题图易知= ,所以只需证明+= .由题图 可知,tan = ,tan = ,且, 则tan(+) = 因为0 ,0 ,所以0 +. 而在区间(0,)内，正切值为1的角有且只有1个，即 .所以 += ,所以+= .,
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