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7 向量应用举例,【题型示范】 类型一 向量在解析几何中的应用 【典例1】 (1)(2014苏州高一检测)过点P(1,1)，且法向量为n=(4,-3)的直线l的方程为_. (2)已知点A(-1，2)，直线l:4x-3y+9=0. 求：过点A且与直线l平行的直线方程. 过点A且与直线l垂直的直线方程.,【解题探究】1.直线l的法向量与直线有什么关系？ 2.如何由直线l方程中x，y的系数确定题(2)中直线方程的斜率k？ 【探究提示】1.垂直. 2.由直线l得到其方向向量u= 再定k. 由直线l得到其法向量n=(4,-3)再确定k.,【自主解答】(1)设M(x,y)是直线l上任一点， 则 =(x-1,y-1), 又n ，故(4，-3)(x-1,y-1)=0，即4x-3y-1=0. 答案：4x-3y-1=0,(2)方法一：直线l的斜率 向量u= 与直线l平行. 设P是过A且与l平行的直线上的动点，P的坐标是(x,y)，则 =(x+1,y-2)，所求直线与l平行，当且仅当u ,转化为 坐标表示，即为1(y-2)- (x+1)=0,整理得4x-3y+10=0, 这就是所求的过A且与l平行的直线方程.,设Q(x,y)为直线l上一动点，则 =(x+1,y-2)，点Q在过A 且垂直于l的直线上，当且仅当u =0,转化为坐标表示，即 为1(x+1)+ (y-2)=0, 整理得3x+4y-5=0, 这就是所求的过A且与l垂直的直线方程.,方法二：因为向量(4，-3)与直线l垂直， 所以n=(4,-3)是l的法向量. 设P(x,y)为直线l上一动点，则 =(x+1,y-2).点P在与l平行 的直线上，当且仅当n =0.转化为坐标表示即为4(x+1)+ (-3)(y-2)=0,整理得4x-3y+10=0，这就是所求的过A且与l平行 的直线方程.,设Q(x,y)为一动点，则 =(x+1,y-2),点Q在与l垂直的直 线上，当且仅当 与n共线，即n ,转化为坐标表示即为 4(y-2)+3(x+1)=0, 整理得：3x+4y-5=0, 即为过A且与l垂直的直线方程.,【延伸探究】若把题(2)的直线换成4x-5y+1=0,其他条件不 变，怎样求过点A且与直线l垂直的直线方程. 【解析】取直线l的法向量n=(4，-5)， 设点P(x,y)在所求直线上，且 =(x+1,y-2).由题意知 与 n平行，即4(y-2)-(-5)(x+1)=0, 所以5x+4y-3=0.,【方法技巧】 1.直线的法向量n,2.利用方向向量及法向量求直线方程的关键及常用结论 (1)关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系. (2)常用结论如下: 所求直线与已知直线平行，则和已知直线的方向向量平行，和已知直线的法向量垂直. 所求直线与已知直线垂直，则和已知直线的方向向量垂直，和已知直线的法向量平行.,【变式训练】求通过点A(2,1)，且平行于向量a(3,1)的直 线方程 【解题指南】在直线上任取一点P(x，y)，则 (x2，y 1)，由 a，利用向量平行的条件可写出方程 【解析】设P(x，y)是所求直线上的任一点， (x2，y1) 因为 a，所以(x2)13(y1)0. 即所求直线方程为x3y50.,【补偿训练】求证直线l1:y=3x-1与l2: 互相垂直. 【证明】在y=3x-1中，分别令x1=0,x2=1，得y1=-1,y2=2.则A(0,-1),B(1,2)是直线l1上的两个点，类似地，可得l2上的两点C(0,2)，D(3,1). 所以 =(1,2)-(0,-1)=(1,3)， =(3，1)-(0,2)=(3,-1), =(1,3)(3,-1)=0, 所以ABCD,故l1l2.,类型二 向量在平面几何中的应用 【典例2】 (1)(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为 CD的中点，则 =_. (2)如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中 点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间 的关系吗？,【解题探究】1.题(1)中能否用简易方法求 2.向量 与 与 分别有什么关系？ 【探究提示】1.建立坐标系，用坐标法求 2.向量 与 与 分别共线.,【自主解答】(1)以点为原点，以 的方向为x轴，y轴 的正方向建立平面直角坐标系，则A(,)，E(,)，D(, )，B(,)，所以 =(2,-1), =(2,2)，所以 =2. 答案：2,(2)设 则 =a+b. 由 与 共线，因此，存在实数m，使得 =m(a+b). 又由 与 共线， 因此，存在实数n，使得 由 得m(a+b)=a+,整理得 由于向量a,b不共线， 所以 解得 所以 同理 于是 所以AR=RT=TC.,【方法技巧】 1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： 选取基底;用基底表示相关向量;利用向量的线性运算或数量积找相应关系;把几何问题向量化. (2)向量的坐标运算法的四个步骤： 建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化;用向量的坐标运算找相应关系;把几何问题向量化.,2.用向量解决平面几何问题的常用策略 (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平 行四边形法则，有时也用到向量减法的定义. (2)证明线段平行、三角形相似、判断两直线是否平行，常运 用向量平行的条件：aba=b(b0)，或者abx1y2- x2y1=0. (3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判 断两直线是否垂直等，常运用向量垂直的条件：abab =0，或者abx1x2+y1y2=0.,(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos = 如求三角形的面积用公式S= absin C时，可能会利用 夹角公式求出cos C，进而求出sin C. (5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如矩形、正方形、 直角三角形等，可建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示， 通过代数运算解决几何问题.,【变式训练】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值. 【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系， 设A(2a,0),B(0,2a)， 则D(a,0),C(0,a)，,从而可求： =(2a,a), =(a,2a),不妨设 , 的夹角为, 则cos = = = 故所求钝角的余弦值为,【补偿训练】已知DE是ABC的中位线，用向量的方法证明： DE= BC，且DEBC. 【证明】易知 所以 即DE= BC，又D不在BC上，所以DEBC.,类型三 向量在物理中的应用 【典例3】 (1)(2014安庆高一检测)用两条成60角的绳索拉船，每条绳的拉力是12 N，则合力为( ),(2)一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方 向10 n mile处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿 南偏东75，以9 n mile/h的速度向前航行，货船以 21 n mile/h的航速前往营救，并在最短时间内与渔船靠近， 求货船的位移.(其中cos 2147= ),【解题探究】1.合力与每条绳的拉力有什么关系？ 2.货船的位移指什么？ 【探究提示】1.合力为两个拉力的和. 2.位移指货船与渔船相遇时所经过的路程和方向.,【自主解答】(1)选D.设两拉力分别为F1和F2，则F1与F2的夹角为60. 合力F合,则F合=F1+F2, 所以|F合|= = =,(2)如图，设渔船在A处遇险，货船在B处发现渔船遇险，两船在C处相遇，所经时间为t(h). 由已知，BAC=45+75=120， 因为 所以 即 所以(21t)2=(9t)2-29t10cos 120+100.,化简得36t2-9t-10=0, 即(3t-2)(12t+5)=0. 因为t0，所以 所以 又 所以 即 所以36=196-21410cosABC+100.,由此解得cosABC= 所以ABC=2147. 故货船的位移是北偏东6647，距离为14 n mile.,【方法技巧】向量解决物理问题的步骤,【变式训练】某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.,【解析】设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a， 设实际风速为v， 那么此时人感到的风速为v-a， 设 因为 所以 这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为 所以,于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的 风速就是 由题意：PBO=45,PABO,BA=AO， 从而，POB为等腰直角三角形，所以PO=PB= 即：|v|= 所以实际风速是每小时 千米的西北风.,【补偿训练】已知两个恒力F1=i+2j,F2=4i-5j，作用于同一质点，此质点从A(20，15)移动到B(7，0)，其中i,j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量.试求： (1)F1,F2分别对质点所做的功. (2)F1，F2的合力F对质点所做的功.,【解析】因为A(20，15),B(7，0), 所以 =(7-20，0-15)=-13i-15j. 因为i，j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量. 所以ij=0，i2=1,j2=1.,(1)F1对质点所做的功 W1= =(i+2j)(-13i-15j) =-13i2-41ij-30j2 =-13-30=-43. F2对质点所做的功 W2= =(4i-5j)(-13i-15j) =-52i2+5ij+75j2=-52+75=23.,(2)因为F=F1+F2=5i-3j, 所以F对质点所做的功 W= =(5i-3j)(-13i-15j) =-65i2-36ij+45j2=-65+45=-20.,【易错误区】应用向量解决平面几何问题中的误区 【典例】(2014合肥高一检测)在ABC中， = 则ABC的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,【解析】选C.由 得 所以 所以 即,所以 所以 所以A=90. 所以ABC是直角三角形.,【常见误区】,【防范措施】 1.正确将平面几何中的边角关系与向量的运算进行转化 理解平面几何中垂直、平行、边长、夹角等几何关系与向量平行、垂直、模、夹角等概念与运算间的关系，能正确将几何关系与向量运算结果之间进行相互转化，如本例中，由向量关系推得A=90.,2.熟练掌握向量的有关概念与运算 向量的有关概念与运算是将几何问题向量化后求解的关键，若理解错误，或运用不当都将造成失误，如本例处.,【类题试解】(2013浙江高考)设ABC，P0是边AB上一定 点，满足P0B= AB，且对于边AB上任一点P，恒有 则( ) A.ABC=90 B.BAC=90 C.AB=AC D.AC=BC,【解析】选D.设 (01)， 因为 所以 所以 即,当1 时，+ 对1 恒成立，即 所以cos B 当0 时，+ 恒成立， 所以cos B 综上可得cos B= 又cos B= 所以 即AC=BC.,
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