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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 必修1,函 数,第二章,2.4 函数与方程,第二章,2.4.2 求函数零点近似解的 一种计算方法二分法,在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，问如何迅速查出故障所在？如果沿着线路小段一小段查找，困难很多每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？,1变号零点与不变号零点 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0(a，b)，使f(x0)0，这样的零点常称作_零点有时曲线通过零点时不变号，这样的零点称作_零点,变号,不变号,2用“二分法”求函数变号零点的近似值的一般步骤 第一步：在D内取一个闭区间a，bD，使f(a)与f(b)_，即f(a)f(b)_，令a0a，b0b. 第二步：取区间a0，b0的_(如图)，,异号,0,中点,x0,x1,计算f(x1)和f(a1)： 判断：如果f(x1)0，则_就是f(x)的零点，计算终止； 如果f(a1)f(x1)_0，则零点位于区间a1，x1上，令a2a1，b2x1； 如果f(a1)f(x1)_0，则零点位于区间x1，b1上，令a2x1，b2b1. ,实施上述步骤，直到an，bn精确到规定的精确度的近似值_时，那么这个值就是方程f(x)0的一个近似解，计算终止 求函数零点的近似值，所选取的起始区间可以不同，最后结果也不尽相同，但相同精确度、取相同位数的近似值一定_,相等,相同,1如图所示，函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( ),A B C D 答案 B,解析 本题考查用二分法求函数零点时，函数值在零点左右变号用二分法求函数的零点时，若f(a)f(b)0，则表明函数f(x)的图象在(a，b)范围内与x轴必相交(不是相切)，所以用二分法求函数的近似零点都是指变号零点，于是、不能用二分法求图中交点的横坐标，故选B,2函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( ) A4 B1 C2 D3 答案 D 解析 函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则该零点为变号零点，根据图象可知，函数f(x)有3个变号零点,3函数f(x)5x2的负数零点的近似值(精确到0.1)是( ) A2.0 B2.1 C2.2 D2.3 答案 C 解析 f(2.1)54.410.590， f(2.3)55.290.290，故选C,4用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实根，取区间中点2.5，那么下一个有根区间是_ 答案 2,2.5 解析 由计算器可算得f(2)1，f(3)16，f(2.5)5.625，f(2)f(2.5)0，所以下一个有根区间是2,2.5,5在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币，但质量稍轻，若现在只有一台天平，最多需要称_次就可以发现这枚假币 答案 4 解析 第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币即最多称四次就可以发现这枚假币,6已知f(x)x5x3在区间1,2内有零点，求方程x5x30在区间1,2内的一个近似解(精确到0.1) 解析 设f(x)x5x3，取1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：,由上表可知方程的近似解为1.1.,函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( ),二分法的概念,分析 题目中给出了各个函数的图象，通过图象与x轴的交点，结合二分法的概念以及使用二分法求函数零点的条件，判断是否可以使用二分法 解析 选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解 答案 B,函数yf(x)在区间a，b上的图象不间断，并且f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上( ) A只有一个变号零点 B有一个不变号零点 C至少有一个变号零点 D不一定有零点 答案 C,解析 如图所示，因为f(x)在a，b上的图象不间断，且f(a)与f(b)异号，故f(x)在a，b上必有零点，并且可能不止一个，故选C,求函数f(x)x32x23x6的一个为正数的零点(精确到0.1) 分析 先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值 解析 由于f(1)60，可取区间1,2作为计算的初始区间用二分法逐次计算，列表如下：,用二分法求函数零点的近似值,因此可以看出，区间1.718 75,1.734 375内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数精确到0.1的实数解,试用计算器求出函数f(x)x2，g(x)2x2的图象交点的横坐标(精确到0.1) 解析 令h(x)f(x)g(x)x22x2. h(2)2222220，h(2)h(3)0， x02.5,2.75；,取2.5,2.75的中点x32.625，则h(2.625)0， x02.625,2.75； 取2.625,2.75的中点x42.687 5，则h(2.687 5)0， x02.687 5,2.75； 取x02.687 5,2.75的中点x52.718 75， h(2.718 5)0. 由于区间2.687 5,2.718 75的左、右端点精确到0.1的近似值都是2.7，所以2.7是函数的零点，即f(x)x2与g(x)2x2的一个交点的横坐标约为2.7. 类似可得另一交点的横坐标为0.7.,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问运用二分法至多需要检测的次数是多少？,二分法在实际问题中的应用,第1次取中点把焊接点数减半为64232个， 第2次取中点把焊接点数减半为32216个， 第3次取中点把焊接点数减半为1628个， 第4次取中点把焊接点数减半为824个， 第5次取中点把焊接点数减半为422个， 第6次取中点把焊接点数减半为221个， 所以至多需要检测6次,2008年初我国南方遭遇了50年不遇的雪灾雪灾发生后，停水断电，交通受阻一日，某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？,中央电视台曾有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一商标某次猜一种品牌的手机，手机价格在5001 000元之间选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？,错解 选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元恭喜你，猜中了！ 辨析 虽然最后结果猜对了，但是此方法很不科学，为了解决这个实际问题，正确的思维方法是使用数学中的“二分法”，它能更有效地解答生活中的应用问题 正解 取价格区间500,1 000的中点750，如果主持人说低了，就再取750,1 000的中点875；否则取另一个区间500,750的中点；若遇到小数，则取整数照这样的方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格,解析 (1)由题意可知，长方体底面的长、宽都是(152x) cm，高为x cm，则它的体积y(152x)(152x)x4x360x2225x. 00，f(5)250，可取区间4,5作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：,由上表可知，区间4.625,4.687 5的长度小于0.1，所以该区间的中点x54.656 25即为方程4x360x2225x150的一个正零点的近似解，即此时截去的小正方形的边长约为4.7 cm.,
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