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平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则AOB= （0 180）叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,向量的夹角,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,定 义,|a| cos（|b| cos）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。,注意：向量的数量积是一个数量。,思考：,ab=|a| |b| cos,当0 90时ab为正；,当90 180时ab为负。,当 =90时ab为零。,重要性质:,特别地,解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10,例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。,例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。,解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2,ab的几何意义：,练习：,1若a =0，则对任一向量b ，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0,3若a 0，a b =0，则b=0,4若a b=0，则a b中至少有一个为0,5若a0，a b= b c，则a=c,6若a b = a c ,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a + b在c上的投影的数量分别是OM、MN、 ON,证明运算律(3),例 3：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,解:,3、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。,如图所示，已知O，AB为直径，C 为O上任意一点。求证ACB=90,分析：要证ACB=90，只须证向 量 ，即 。,解：设 则 ， 由此可得：,即 ，ACB=90,作业：,P108 A组 1, 2, 3 步步高,
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