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第2课时 函数奇偶性的应用,1.复习函数的单调性和奇偶性的概念； 2.能够利用函数奇偶性的特点画函数图象； 3.能够根据函数奇偶性的概念求函数解析式； 4.根据奇偶性判断函数的单调性.,一般地，设函数f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间D上是增函数,函数的单调性,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数,一般地，如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x) ，那么这个函数f(x)就叫做偶函数。,一般地，如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。,探究点1 根据函数奇偶性画函数图象,偶函数的图象关于y轴对称、如果能够画出偶函数的图象在y轴一侧的图象，则根据对称性就即可画出该函数在y轴另一侧的图象,奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以画出函数在原点另一侧的图象。,例1.画出下列函数的图象 （1） （2）,分析：（1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶 函数，这样只要画出了在 时的函数图象就可以根 据对称性画出函数在 时的图象。 （2）函数是奇函数，同样根据对称性解决。,解：（1）当 时，,其图象是以点(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，与x轴的交点坐标是(0,0)(2,0)。,此时函数图象在y轴右半部分如图所示：,根据函数图象的对称性得到整个函数的图象，如图。,（2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0，1单调递减，在区间（1，+）单调递增，且在（0，+）函数值都是正值，函数在（0，+）上的最小值为2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）,根据函数在（0，+）上的性质，作出函数的图象，如图第一象限内如图所示.,根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图象，如图。,探究点2 根据函数的奇偶性求函数解析式,例2.已知函数f(x)在（0,+）上的解析式是f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（-，0）上的解析式。 （1）f(x)是偶函数； （2）f(x)是奇函数。,分析：求函数f(x)在(-，0）上的解析式，就是求当 时，如何用含x的表达式表示f(x),能够利用的已知条件是函数在（0，+）上的函数解析式，这样就要把（-，0）上的自变量转化到（0，+）上的自变量。,根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义 域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函 数就是f(x)=f(-x)，这样当 时， ， 而在（0，+）上的函数解析式是已知的。对奇函数同 样处理。,解：（1）当函数f(x)是偶函数时，满足f(x)=f(-x),当 时， ，,所以，当 时，,(2)当函数f(x)是奇函数时，满足f(x)=-f(-x),当 时， ，,所以，当 时，,探究点3 利用函数的奇偶性研究函数的单调性,回顾例1中两个函数的图象。,第（1）个函数图象上可以看出函数在关于定义域对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律。,第（2）个函数图象上可以看出函数在定义域对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律。,例3.已知函数f(x)是奇函数，且在（0，+）是减函数，证明函数在（-，0）上也是减函数。,分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-，0)取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在(-，0)上的函数值转化到（0，+）上的函数值，再根据函数在（0，+）上是减函数，确定所作的差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的结论。,所以-f(x1)+f(x2)0。,证明：在（-，0）上任取x1-x20,因为函数在（0，+）上是减函数，所以,由于函数f(x)是奇函数，所以,根据减函数的定义，函数f(x)在（-，0）上是减函数。,练习1.画出函数f(x)=-x2+4|x|的图象。,答案：,2.已知奇函数f(x)，在（-，0上的解析式是f(x)=x2+2x，求这个函数在（0，+）上的解析式。,答案：,3.若偶函数f(x)在（-，0）上是增函数，判断函数f(x)在（0，+）上的单调性，并加以证明。,答案：函数f(x)在（0，+）上是减函数。,证明：在（0，+）上任取x1-x1-x2 由于函数在（-，0）上是增函数，故f(-x1)f(-x2)，由于函数f(x)是偶函数，所以f(-x1)= f(x1)， f(-x2)= f(x2)，所以f(x1)f(x2)，根据减函数的定义，函数f(x)在（0，+）上是减函数。,1.函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与函数的单调性一样是今后进一步研究函数问题的主要工具。,2.函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，而函数的单调性是函数在定义域上的局部性质。,3.具备奇偶性的函数，若是奇函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；若是偶函数则在定义域对称的区间上具有相反的单调性。,但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。 凡尔纳,
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