资源描述
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质,1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数 _. (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的_，即,相等,和,2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“_”的两个二项式系数相等 (即 ). (2)增减性与最大值：当k_时，二项式系数逐渐增大.由 对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当n是偶数时，中间一项_取得最大值； 当n是奇数时，中间两项 相等，同时取得最大值.,等距离,(3)各二项式系数的和：,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.( ) (2)二项式展开式的二项式系数和为 .( ) (3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( ),【解析】(1)正确.设a1=1，a2=3，a3=6，a4=10， 若令bn=an-1-an，则b1=2，b2=3，b3=4，所以可得bn是等差数 列，从而得出其每一斜行数字的差成一个等差数列. (2)错误.二项式展开式的二项式系数和为 ,此处 漏掉了 . (3)错误.展开式中系数最大项与二项式系数最大项不一定相同, 根据各项系数正、负的变化情况判断，只有当二项式系数与各 项系数相等时,二者一致. 答案：(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1) 的展开式中二项式系数最大的项是第_项 (2)如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个 数均为_. (3)已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5，若a2=80，则a0+a1+a2 +a5=_.,【解析】(1)由n=11为奇数，则展开式中第 项和第 项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大. 答案：6和7 (2)由1，3，5，7，9，可知它们成等差数列，所以an=2n-1. 答案：2n-1 (3)展开式的通项为 令r=2，则a2 所以a=2.则(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5，令x=1，得 a0+a1+a5=1. 答案：1,【要点探究】 知识点 杨辉三角与二项式系数的性质 1.解决与杨辉三角有关的问题的注意事项 (1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数 据的相互联系后，再对数据间的这种联系用数学式子将它表达 出来，使问题得解. (2)注意二项式系数性质 的应用.,2.对二项式系数性质的三点说明 (1)对称性：源于组合数的性质“ ”，基础是 然后从两端向中间靠拢，便有 ，. (2)最大值：当n是偶数时，(a+b)n的展开式共n+1项，n+1是 奇数，这时展开式的形式是,中间一项是第 +1项，它的二项式系数是 ，它是所有二项 式系数中的最大值；当n是奇数时，(a+b)n的展开式共有n+1 项，n+1是偶数，这时展开式的形式是 中间两项是第 项，它们的二项式系数是 这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值.,(3)各二项式系数和： 源于(a+b)n = 中令a=1，b=1，即得到,【知识拓展】杨辉三角的另外两个性质 (1)杨辉三角的第2n-1行各个数都是奇数. (2)如图第n条横线与第n+1条横线数字之和等于第n+2条横线上数字之和.,【微思考】 (1)二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？ 提示：不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n+1行对应数值相等. (2)杨辉三角有什么作用？ 提示：利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质，当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数.,(3)令f(k)= ，k0,1,2，n，则直线k= 将函数f(k) 的图象分成对称的两部分，即直线k= 是图象的对称轴，由此 我们得到结论：当k= 时， 最大，这个结论正确吗？ 提示：不正确.当n是偶数时， 最大；当n是奇数时， 最大.,【即时练】 1.(1+x)2n+1的展开式中，二项式系数最大的项的项数是( ) A.n，n+1 B.n-1，n C.n+1，n+2 D.n+2，n+3 【解析】选C.(1+x)2n+1展开式有2n+2项.系数最大的项是中间 两项，是第n+1项与第n+2项，它们的二项式系数为 与,2.如图所示，满足第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n2)的第2个数是_. 【解析】由图中数字规律可知，第n行的第2个数是 答案：,【题型示范】 类型一 与杨辉三角有关的问题 【典例1】 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( ) A.第6行 B.第7行 C.第8行 D.第9行,(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( ) A.144 B.146 C.164 D.461,【解题探究】1.题(1)中据杨辉三角的特性，能否写出第6行的数是什么？ 2.据杨辉三角与二项式系数的性质知，S1与S2分别为什么？用组合数如何表示？ 【探究提示】1.第6行的数依次为1 6 15 20 15 6 1.,【自主解答】(1)选B.由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第 7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均 能被7整除. (2)选C.由题干图知，数列中的首项是 ，第2项是 ，第3 项是 ，第4项是 ，第15项是 ，第16项是 .所以,【方法技巧】解决与杨辉三角有关的问题的一般思路,【变式训练】在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第_行会出现三个相邻的数，其比为345.,【解析】根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得 连续三项 有 且 .化简得 联立解得k=27，n=62.故第62行会出现满足条件的三 个相邻的数. 答案：62,【补偿训练】(2014咸宁高二检测)请观察“杨辉三角”图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是( ) A.58 B.70 C.84 D.126,【解析】选B.第一行有1个数，第二行有2个数，那么第9行就有9个数，偶数行中间的两个数是相等的.第九行正中间的数应是第九行的第5个数.应该等于第8行第4个数+第8行第5个数=2第8行第4个数=2(第7行第3个数+第7行第4个数)=2(第6行第2个数+第6行第3个数)+(第6行第3个数+第6行第4个数)=2第6行第2个数+2第6行第3个数+第6行第4个数=2(第5行第1个数+第5行第2个数)+2(第5行第2个数+第5行第3个数)+(第5行第3个数+第5行第4个数)=2(1+4)+2(4+6)+6+4=70.,类型二 二项式系数和的问题 【典例2】 (1)(2014琼海高二检测)已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2 +a10(1-x)10，则a8=( ) A.180 B.90 C.-5 D.5 (2)(2014洛阳高二检测) 的展开式中各项系数之 和为729，则该展开式中x2项的系数为_.,(3)(2014重庆高二检测)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7. 求：a1+a2+a7； a1+a3+a5+a7； a0+a2+a4+a6.,【解题探究】1.题(1)中如何构造关于(1-x)的二项式？ 2.题(2)中二项式展开式中各项系数之和与x的取值有何关系? 3.如何求二项展开式系数和或部分系数和?,【探究提示】1.将(1+x)等价转化为2-(1-x)，即可用二项式定理展开. 2.当x=1时,展开式左边的值即为各项系数的和. 3.求二项展开式系数和或部分系数和时,通常利用赋值法,如:求(a+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn中各项系数和,可令x=1,即得各项系数和.若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和,可分别令x=1,x=-1,两等式相加或相减即可求出结果.,【自主解答】(1)选A. (1+x)10=2-(1-x)10，其通项公式 为： ，a8是r=8时，第9项的系数.所以 (2)依题意令x=1，得3n=729，则n=6，二项式 的展开 式的通项是 令 =2，得r=3. 因此，在该二项式的展开式中x2项的系数是 =160. 答案：160,(3)令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1， 令x=-1，则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37. 因为a0= =1， 所以a1+a2+a3+a7=-2. a1+a3+a5+a7= =-1 094. a0+a2+a4+a6= =1 093.,【延伸探究】题(3)条件不变，求|a0|+|a1|+|a2|+|a7|的值. 【解析】因为(1-2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， 所以|a0|+|a1|+|a2|+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7). 所以由即可得其值为2 187.,【方法技巧】二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb)n,(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即 可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可,(2)一般地，若f(x)=a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式 中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0a2a4= 偶数项系数之和为a1a3a5=,【变式训练】设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2 +a11(x+2)11，则a0+a1+a2+a11的值为_. 【解题指南】观察等式的结构特点，令x=-1即可. 【解析】令x=-1， 则原式化为(-1)2+12(-1)+19=-2 =a0+a1(2-1)+a2(2-1)2+a11(2-1)11， 所以a0+a1+a2+a11=-2. 答案：-2,【补偿训练】若 则(a0+a2+a4+a2 014)2-(a1+a3+a5+a2 013)2=_. 【解析】令f(x)=( +2x)2 014，则 a0+a1+a2+a2 014=f(1)， a0-a1+a2-+a2 014=f(-1)，,所以(a0+a2+a4+a2 014)2-(a1+a3+a5+a2 013)2 =(a0+a2+a4+a2 014)+(a1+a3+a5+a2 013) (a0+a2+a4+a2 014)-(a1+a3+a5+a2 013) =f(1)f(-1) =(-1)2 014 =1. 答案：1,类型三 二项式系数的综合应用 【典例3】 (1)(1-2x)7展开式中，系数最大的项为_. (2)在(3x-2y)20的展开式中，求： 二项式系数最大的项； 系数绝对值最大的项； 系数最大的项.,【解题探究】1.题(1)中的系数是否都为正数？正数的项都有哪些？ 2.求形如题(2)二项式系数问题的关键是什么？ 【探究提示】1.不全为正数，正数的项为第1，3，5，7项. 2.处理二项式系数问题的关键是利用二项展开式.,【自主解答】(1)展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在 第1,3,5,7这四项中取得.又因(1-2x)7括号内的两项中后项系 数绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大项必在中间或偏 右，故只需要比较T5和T7两项系数大小即可， 所以系数最大的项是第5项， 即 答案：560x4,(2)二项式系数最大的项是第11项： 设系数绝对值最大的项是第r+1项，于是 化简得 解得 因为rN，所以r=8，即T9= 31228x12y8是系数绝对值最 大的项.,由于系数为正的项为奇数项，所以可设第2r-1项系数最大 (r1). 则 即 解得r=5，即第25-1=9项系数最大. 所以系数最大的项为,【方法技巧】 1.二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.,2.展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的， 需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n (a,bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设 展开式中各项系数分别为A0,A1，A2,An，且第r+1项最大， 应用 解出r，即得出系数的最大项.,【变式训练】在(x+y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相 等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5，6项 D.第6，7项 【解析】选A.由题意得，第4项与第8项的系数相等，则其二项 式系数也相等，所以 ，由组合数的性质，得n=10.所以 展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.,【补偿训练】在 的二项展开式中，二项式系数中最大项的项数为( ) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第5或7项 【解题指南】直接根据展开式中间项的二项式系数最大得出第6项的二项式系数最大. 【解析】选B.展开式中共有11项， 据展开式中中间项的二项式系数最大， 故第6项的二项式系数最大.故选B.,【规范解答】二项式性质的应用 【典例】(12分)(2014临沂高二检测)已知(2x-1)n的二项展 开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求 的值.,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升 失分点1：解题时若误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数 项.即处不能正确地得到A,B，则会造成后面全错而不得分. 失分点2：解题时若对式子的结构把握不准而在处不能对x正 确赋值，即不能正确得到关于n的方程而失分,考试时最多得4 分. 失分点3：解题时若把 看成二项展开式各项 二项式系数和，即在处忽略了 而失分，考试时最多得8分.,【悟题】提措施，导方向 1.注意对概念的区分 要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,如本例,各项系数其实为x的系数. 2.注重对性质的理解 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,如本例中利用性质可确定所求式子的值.,3.赋值法的准确应用 求二项展开式系数和或部分系数和时，通常利用赋值法，如本例，正确对x赋值是解题的关键.,【类题试解】求(1+2x)20的展开式中x的奇次方项和x的偶次方 项的系数和各是多少？ 【解析】设x的奇次方项的系数和为A，x的偶次方项的系数和 为B，则令x=1，得A+B=320，令x=-1，得B-A=1. 所以2B=320+1.所以 所以奇次方项系数的和为 ，偶次方项系数的和为,
展开阅读全文