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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 必修1,集合与函数的概念,第一章,1.2 函数及其表示,第一章,1.2.1 函数的概念,知识衔接,1函数的概念 设A，B是非空的_，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_数x，在集合B中都有_的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.其中x叫做_，x的取值范围A叫做函数yf(x)的_；与x的值相对应的y值叫做_，函数值的集合f(x)|xA叫做函数yf(x)的_，则值域是集合B的_,自主预习,数集,任意一个,唯一确定,自变量,定义域,函数值,值域,子集,名师点拨 (1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的 (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应，这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数,2常见函数的定义域和值域,x0,R,定义域,对应关系,对应关系,一定相同,定义域不同,(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示,4区间与无穷大 (1)区间的概念 设a，b是两个实数，且ab.,a，b,(a，b),a，b),(a，b,知识拓展 并不是所有的数集都能用区间来表示例如，数集M1,2,3,4就不能用区间表示由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示,(2)无穷大 “”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”，满足xa，xa，xa，xa的实数x的集合可用区间表示，如下表.,a，),(a，),(，a,(，a),答案 C 2已知f(x)2x1，则f(5)( ) A3 B7 C11 D25 答案 C,预习自测,3集合x|x1用区间表示为( ) A(，1) B(，1 C(1，) D1，) 答案 D 4区间5,8)表示的集合是( ) Ax|x5，或x8 Bx|5x8 Cx|5x8 Dx|5x8 答案 C,函数概念的理解,互动探究,探究1.如何利用函数定义对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断 探究2.当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系,答案 (1)B (2)C,规律总结 判断一个对应关系是否是函数关系的方法，从以下三个方面判断：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应；(3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余,答案 (1)不是 是 (2) 解析 (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数； 对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：xyx2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数； A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；,对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：xy0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数 (2)根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法,探究1.求函数定义域的实质是什么？ 探究2.在实际问题中，求函数定义域应注意什么？,求函数的定义域,规律总结 求函数的定义域： (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0. (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合 (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接,2已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系为_，其定义域为_,试用区间表示下列实数集： (1)x|5x6； (2)x|x9； (3)x|x9x|9x20 (4)x|x1x|5x2； 探究1.注意区间的开与闭，能取端点值时为闭，不能取端点值时为开 探究2.若用到两个或两个以上区间时，用“”表示,区间,解析 (1)x|5x65,6) (2)x|x99，) (3)x|x9x|9x20(，9)(9,20 (4)x|x1x|5x2x|5x15，1,规律总结 对于区间的理解应注意： (1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将ba称之为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如a (2)注意开区间(a，b)与点(a，b)在具体情景中的区别. 若表示点(a，b)的集合，应为(a，b) (3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圈的区别,(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示 (5)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆,(1)用区间表示数集x|x2或x3为_ (2)已知全集UR，Ax|1x5，则UA用区间表示为_ 答案 (1)(，2(3，) (2)(，1(5，) 解析 (1)x|x2或x3(，2(3，) (2)UAx|x1或x5(，1(5，),探究 解决此类问题，要充分理解相等函数的概念，准确求出函数的定义域，认准对应关系，按判断相等函数的步骤求解,相等函数的判断,探索延拓,答案 ,规律总结 从函数的概念可知，函数有定义域、值域、对应法则三要素，其中，定义域是前提，对应法则是核心，值域是由定义域和对应法则确定的因此， (1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同，它们就不是同一个函数只有当定义域和对应法则都相同时它们才是相等函数 (2)对应法则f是函数关系的本质特征，要深刻理解，准确把握，它的核心是“法则”通俗地说，就是给出了一个自变量后的一种“算法”，至于这个自变量是用x还是用t或者别的符号表示，那不是“法则”的本质，因此，对应法则与自变量所用的符号无关,(3)从本题我们也得到这样的启示：在对函数关系变形或化简时，一定要注意使函数的定义域保持不变，否则，就变成了不同的函数这也正说明了函数的定义域是函数不可忽视的一个重要组成部分例如f(x)x2x (x1)，f(3)3236，但f(1)是无意义的，不能得出f(1)(1)2(1)2，因为只有当x取定义域1，)内的值时，才能按这个法则x2x进行计算,求函数值,规律总结 此类求值问题，一般要求的式子较多，不能逐个求解，求解时，注意观察所要求的式子，发掘它们之间的关联，进而去验证，从而得到问题的解决方法,答案 9,错解 由区间的定义，可知BA，即两集合表示的是同一意义 错因分析 该解法中忽视了区间a，b中的隐含条件am1，即m1这个隐含条件；而集合Bx|m1x2m中的m没有这个隐含条件,易错点 忽视区间中的隐含条件,误区警示,思路分析 用区间表示含字母的集合时，字母就有了隐含条件，但用集合表示时，却没有这个限制因此在面对Bx|m1x2m这样的集合时，就要注意讨论m的范围，B可能为空集或只有一个元素的集合 正解 当m1时，AB，但m1时集合B不能用区间A表示,已知区间2a,3a5，则a的取值范围为_ 答案 (1，) 解析 由题意可知3a52a，解之得a1.故a的取值范围是(1，),答案 D 解析 判断y是否为x的函数，主要是看是否满足函数的定义，即一对一或多对一，不能一个自变量对应多个y值，故错，正确，故选D.,2下列图形中表示函数图象的是( ) 答案 C 解析 作x轴的垂线，只有图象C与直线最多有一个交点，即为函数图象，故选C.,答案 x|x1且x5,
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