巧用面积法妙解几何题.ppt

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巧用面积法 妙解几何题,人教版八年级数学 上册 映山中学 严正霞,何谓面积法,在求解平面几何问题的时候,根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系,用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系,从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系,并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法,称之为面积法。 抓住面积不但能把平面几何知识变得更容易学,而且使几何问题变得更简捷,更有趣味。,温故知新,填空: 1.若ABCDEF,且ABC的面积为25,则DEF的面积为 。 2.已知AD为ABC的中线,则S ABD与S ACD的大小关系为 。 3.(1)平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形ABC 、ADC,则S ABC与S ADC的大小关系为 。 (2)平行四边形ABCD的边AD上有一点E,连结EB、EC,则S EBC与S平行四边形ABCD的关系为 。 4.已知直线a b,点M、N为b上两点,点A、B为a上两点,连结AM、AN、BM、BN,则S AMN 与S BMN的大小关系为 。,25,SABD=SACD,SABC=SADC,SABD=1/2S平行四边形ABCD,SAMN=SBMN,用面积法解几何问题常用到下列性质:,全等三角形的面积相等; 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分; 平行四边形的对角线把其分成面积相等的两部分; 三角形的面积等于同底(或等底)等高的平行四边形的面积的一半; 同底(或等底)等高的三角形面积相等。,例题讲解,证线段相等 例1.已知:ABC中,A为锐角,AB=AC,BDAC于D,CEAB于E,求证:BD=CE.,分析:此题运用三角形全等可以解决,但考虑到有“高” ,不妨用面积法来试试,可用SABC=1/2ABCE=1/2ACBD来完成。,证明: ABC中,BDAC于D,CEAB于E SABC=1/2ABCE=1/2ACBD 又AB=AC BD=CE,变式训练,1.已知:等腰ABC中,AB=AC,D为底边BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别为E、F.求证:DE=DF.,分析:此题用三角形全等可完成,但题中出现两条“垂线段”,可考虑面积法,连接AD,则SABD=SACD,由AB=AC,可得DE=DF.,2.平行四边形ABCD中,BEAC于E,DFAC于F,求证:BE=DF,变式训练,分析:此题可以用平行四边形和全等三角形的知识解决,但出现两条“垂线段”,且都垂直于同一条线段,可考虑面积法,根据S平行四边形ABCD=2S ABC=2SADC可得证。,证线段的和差关系 例2.(1)已知: ABC中,AB=AC,P为底边BC上一点,PDAB于D,PEAC于E,BFAC于F,求证:PD+PE=BF.,分析:此题可构造矩形来证明,但较麻烦。考虑到题中有三条“垂线段”,可尝试面积法。连接AP,根据SABC=SABP+SACP,结合AB=AC,可得证。,证明: BFAC于F S ABC=1/2ACBF PDAB于D,PEAC于E S ABP=1/2ABPD, SACP=1/2ACPE S ABC= S ABP+ SACP 1/2ACBF=1/2ABPD+1/2ACPE AB=AC PD+PE=BF,(2)若P为 ABC的底边BC的延长线上一点,其他条件不变,则(1)中的结论仍然成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请写出正确的结论,并证明。,分析:虽然题目条件发生了变化,但思路不变,方法不变,还是用面积法。连接AP,根据SABC=SABP-SACP,结合AB=AC,可得到正确的结论:PD-PE=BF。,证明: BFAC于F S ABC=1/2ACBF PDAB于D,PEAC于E S ABP=1/2ABPD, SACP=1/2ACPE S ABC= S ABPSACP 1/2ACBF=1/2ABPD1/2ACPE AB=AC PDPE=BF,3.(1)已知等边ABC内有一点P,PDAB,PEBC,PFCA,垂足分别为D、E、F,又AH为ABC的高,求证:PD+PE+PF=AH.,变式训练,分析:考虑到题中出现了三条“垂线段”和一条“高”,可尝试面积法。连结PA、PB、PC,根据SABC=SABP+SBCP+SACP,由AB=BC=AC,可得证PD+PE+PF=AH,(2)若P是等边ABC外部一点,其他条件不变,(1)中的结论仍然成立吗?若成立,请说明理由;若不成立,请写出正确的结论,并说明理由。,分析:此题的条件虽然发生了变化,但是思路、方法不变,还是应用面积法。连结PA、PB、PC,根据SABC=SABP+SACPSBCP,由AB=BC=AC,可得正确结论:PD+PFPE=AH,证角相等 例3.点C是线段AB上一点,分别以AC、BC为边在AB同侧作等边ACD和等边BCE,连接BD、AE交于O点,再连接OC,求证:AOC=BOC.,分析:要证AOC=BOC,可证点C到AO、BO的距离相等,如此就要过C点作CPAE于P,CQBD于Q,证CP=CQ,可考虑面积法,证ACEDCB,则有 SACE =SDCB 且AE=BD,可得CP=CQ。,P,Q,证明:过点C作CPAE于P,CQBD于Q, ACD、BCE是等边三角形 AC=DC,EC=BC, ACD=ECB=60 ACE=DCB=120 ACEDCB SACE =SDCB ,AE=BD CP=CQ OC平分AOB, 即AOC=BOC.,变式训练,4.在平行四边形ABCD的两边AD、CD上各取一点E、F,使AF=CE,且AF与CE交于点P,连接BP,求证:BP平分APC,分析:要证BP平分APC,可证点B到AP、CP的距离相等,故过B作BGAF于G,BHCE于H,连接BF、BE。由于AF=CE,只要SABF=SBCE即可,而SABF=SBCE=1/2S平行四边形ABCD,所以BG=BH,命题得证。,课堂小结,面积法是平面几何中论证线段关系的一种较简单的数学方法; 使用面积法的前提是:题中要有“垂线段”,若没有“垂线段”,则要结合角平分线的性质或判定构造“垂线段”; 使用面积法解题的关键在于:抓住图形之间的面积关系,进而利用面积公式转化为线段关系。,课后练习,1.RtABC中,BAC=90,AB=3,M为边BC上一点,连接AM,若将ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点B处,那么点M到AC的距离是 。 2. ABC中,AB=AC,A=120,BC=6,PEAB于E,PFAC于F,则PE+PF= 。,3. ABC中,ABAC,BD和CE分别为AC、AB上的高,求证:BDCE. 4.以ABC的边AB、AC为边长,在BC的同侧作正方形ABEF和正方形ACGH,连接FH,过点A作ADBC于D,延长DA交FH于点M,求证:FM=HM.,5.设E是ABC的角平分线AD上一点,连接EB、EC,过C作CFBE交AB的延长线于F,过B作BGEC交AC的延长线于G,求证:BF=CG.(提示:SBEF=SBEC=SCEG),6.在ABC中,AD是BAC的平分线,求证:ABAC=BDCD. (提示:ABAC=SABDSACD) 7.RtABC中,ACB=90,CDAB于D,已知AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,求证:1/a2+1/b2=1/h2(提示:a2+b2=c2),
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