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第3讲 圆锥曲线中的综合问题,考情分析,总纲目录,考点一 范围、最值问题,典型例题 (2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A ,B ,抛物线上 的点P(x,y) .过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求|PA|PQ|的最大值.,解析 (1)设直线AP的斜率为k,k= =x- , 因为- x ,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1). (2)解法一:联立方程得 解得点Q的横坐标是xQ= . 因为|PA|= = (k+1), |PQ|= (xQ-x)=- ,所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3, 令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f (k)=-(4k-2)(k+1)2, 所以f(k)在区间 上单调递增, 上单调递减,因此当k= 时,|PA| PQ|取得最大值 . 解法二:如图,连接BP,|AP|PQ|=|AP|PB|cosBPQ= ( - )= - .,易知P(x,x2) , 则 =2x+1+2x2- =2x2+2x+ , = + =x2+x+ +x4- x2 + =x4+ x2+x+ . |AP|PQ|=-x4+ x2+x+ . 设f(x)=-x4+ x2+x+ , 则f (x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2, f(x)在 上为增函数,在 上为减函数, f(x)max=f(1)= .,故|AP|PQ|的最大值为 .,方法归纳 求解范围、最值问题的五种方法 解决有关范围、最值问题时,先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、 斜率等),建立目标函数,然后利用函数的有关知识和方法求解. (1)利用判别式构造不等式,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在 两个参数之间建立相等关系; (3)利用隐含的不等关系,求出参数的取值范围; (4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用函数值域的求法,确定参数的取值范围.,跟踪集训 (2017合肥第一次教学质量检测)已知椭圆E: + =1(ab0)的两焦点 与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线 + =1与椭圆E有且仅有 一个交点M. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线 + =1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A, B,若| |2=|PA|PB|,求实数的取值范围.,|PM|2=|PA|PB|= , 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去y,得(3+4k2)x2+16kx+4=0, 依题意得,x1x2= ,且=48(4k2-1)0,k2 . |PA|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2) =1+ = ,= , k2 , 1. 综上所述,的取值范围是 .,考点二 定点、定值问题,典型例题 (2017课标全国,20,12分)已知椭圆C: + =1(ab0),四点P1(1,1),P2 (0,1),P3 ,P4 中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜 率的和为-1,证明:l过定点.,因此 解得 故C的方程为 +y2=1. (2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2. 如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|2,可得A,B的坐标分别为 , . 则k1+k2= - =-1,得t=2,不符合题设. 从而可设l:y=kx+m(m1).将y=kx+m代入 +y2=1得,解析 (1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点. 又由 + + 知,C不经过点P1,所以点P2在C上.,(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由题设可知=16(4k2-m2+1)0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- ,x1x2= . 而k1+k2= + = + = , 由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即(2k+1) +(m-1) =0. 解得k=- .,当且仅当m-1时,0,于是l:y=- x+m, 即y+1=- (x-2),所以l过定点(2,-1). 方法归纳 定点与定值问题的求解策略 (1)解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y=kx+m(k存在的情 形),然后利用条件建立k与m的关系,借助于点斜式方程确定定点坐标. (2)定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值,再给出一般化 的证明或直接推证得出与参数无关的数值.在这类试题中选择消元的方 法是非常关键的.,跟踪集训 (2017宝鸡质量检测(一)已知椭圆C: + =1(ab0)经过(1,1)与 两点. (1)求椭圆C的方程; (2)过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB |.求证: + + 为定值.,解析 (1)将(1,1)与 代入椭圆C的方程, 得 解得 椭圆C的方程为 + =1. (2)证明:由|MA|=|MB|知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B关于原点对称. 若点A、B是椭圆的短轴端点,则点M是椭圆长轴的一个端点,此时 + + = + + =2 =2. 同理,若点A、B是椭圆的长轴端点,则点M是椭圆短轴的一个端点,此时,+ + = + + =2 =2. 若点A、B、M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y=kx(k0),则直线 OM的方程为y=- x,设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 解得 = , = , |OA|2=|OB|2= + = ,同理,|OM|2= , 所以 + + =2 + =2. 综上, + + =2,为定值.,考点三 探索性问题,典型例题 (2017武汉武昌调研考试)已知直线y=k(x-2)与抛物线:y2= x相交于A,B 两点,M是线段AB的中点,过M作y轴的垂线交于点N. (1)证明:抛物线在点N处的切线与直线AB平行; (2)是否存在实数k使 =0?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由. 解析 (1)证明:由 消去y并整理,得2k2x2-(8k2+1)x+8k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2=4, xM= = ,yM=k(xM-2)=k = .,由题设条件可知,yN=yM= ,xN=2 = ,N . 设抛物线在点N处的切线l的方程为y- =m , 将x=2y2代入上式,得2my2-y+ - =0. 直线l与抛物线相切, =(-1)2-42m = =0, m=k,即lAB. (2)假设存在实数k,使 =0,则NANB. M是AB的中点,|MN|= |AB|. 由(1),得|AB|= |x1-x2|= = ,= . MNy轴,|MN|=|xM-xN|= - = . = ,解得k= .故存在k= ,使 =0. 方法归纳 解决探索性问题的注意事项 存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结 论不正确,则不存在. (1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论. (2)当给出结论要求推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件. (3)当条件和结论都未知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取其他 的途径.,跟踪集训 (2017兰州诊断考试)已知椭圆C: + =1(ab0)经过点( ,1),且离心 率为 . (1)求椭圆C的方程; (2)设M,N是椭圆上的点,直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为- . 若动点P满足 = +2 ,试探究是否存在两个定点F1,F2,使得|PF1|+| PF2|为定值.若存在,求F1,F2的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 (1)e= , = ,可得 = , 又椭圆C经过点( ,1), + =1, 解得a2=4,b2=2. 椭圆C的方程为 + =1. (2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则由 = +2 得x=x1+2x2,y=y1+2y2, 点M,N在椭圆 + =1上, +2 =4, +2 =4, 故x2+2y2=( +4x1x2+4 )+2( +4y1y2+4 )=( +2 )+4( +2 )+4(x1x2+2y 1y2)=20+4(x1x2+2y1y2). kOMkON= =- ,x1x2+2y1y2=0. x2+2y2=20,故点P是椭圆 + =1上的点. 由椭圆的定义知存在点F1,F2满足|PF1|+|PF2|=2 =4 ,为定值, 又|F1F2|=2 =2 , F1,F2的坐标分别为(- ,0),( ,0). 随堂检测 (2017东北四市高考模拟)已知椭圆C: +y2=1(a1),B1,B2分别是其上、 下顶点,椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上. (1)求椭圆C的方程; (2)过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直 平分线与x轴交于点N,点N的横坐标的取值范围是 ,求|AB|的取值,随堂检测 (2017东北四市高考模拟)已知椭圆C: +y2=1(a1),B1,B2分别是其上、 下顶点,椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上. (1)求椭圆C的方程; (2)过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直 平分线与x轴交于点N,点N的横坐标的取值范围是 ,求|AB|的取值范围.,解析 (1)由题知b=c=1, a= = ,椭圆的方程为 +y2=1. (2)设直线l:y=k(x+1),联立方程得 消去y,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,记A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系可得 则y1+y2=k(x1+x2+2)= , 设AB的中点为Q,则Q ,直线QN的方程:y- =- =- x- , N ,已知条件得- - 0,即02k21. |AB|= = , 02k21, 1, |AB| , |AB|的取值范围为 .,
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