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文数 课标版,第二节 等差数列及其前n项和,1.等差数列的定义 如果一个数列从 第二项 起,每一项与前一项的差等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 公差 ,通常用字母 d 表示,定义的表达式为an+1-an=d(nN*).,教材研读,2.等差数列的通项公式 等差数列an的通项公式是 an=a1+(n-1)d .,3.等差中项 如果 A= ,那么A叫做a与b的等差中项.,4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,mN*). (2)若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则 ak+al=am+an . (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为 2d . (4)若an,bn(项数相同)是等差数列,则pan+qbn(p,q是常数)仍是等差 数列. (5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为 md 的 等差数列.,5.等差数列的前n项和公式 等差数列an的前n项和Sn= 或Sn= na1+ .,6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn= n2+ n. 数列an是等差数列Sn=An2+Bn(A、B为常数).,7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列an中,若a10,d0,则Sn 存在最 小 值.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数 列是等差数列. () (2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2. () (3)等差数列an的单调性是由公差d决定的. (),(4)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定 是等差数列. () (5)若数列an,bn(项数相同)都是等差数列,则数列an+bn也一定是等 差数列. () (6)等差数列an的首项为a1,公差为d,取出数列中的所有奇数项,组成一 个新的数列,则此新数列一定是等差数列. (),1.在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.6 答案 B 设数列an的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1, a6=a4+2d=0.故选B.,2.(2015东北师大附中摸底考试)等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列 an的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 设公差为d.a1+a5=2a3=10,a3=5,又a4=7,d=2.故选B.,3.(2016广东惠州调研)等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d 等于 ( ) A.1 B. C.-2 D.3 答案 C S3=6= (a1+a3),且a3=a1+2d,a1=4,d=-2,故选C.,4.已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0,则有 ( ) A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a1=51 答案 C S101=0,S101= =0,a1+a101=a2+a100=a3+a99=0.故选 C.,5.已知等差数列an中,a5+a9-a7=10,记Sn=a1+a2+an,则S13的值为 . 答案 130 解析 由a5+a9-a7=10可得2a7-a7=a7=10,由等差数列前n项和公式可得S13= =13a7=130.,考点一 等差数列的基本运算 典例1 (1)设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于 ( ) A.8 B.10 C.12 D.14 (2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 (1)C (2)C 解析 (1)S3= =3a2=12,a2=4.,考点突破,a1=2,d=a2-a1=4-2=2. a6=a1+5d=12.故选C. (2)解法一:Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 公差d=am+1-am=1, 由Sn=na1+ d=na1+ , 得 由得a1= ,代入可得m=5. 解法二:数列an为等差数列,且前n项和为Sn,数列 也为等差数列. + = , 即 + =0, 解得m=5,经检验为原方程的解.故选C.,方法指导 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中 三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中可起到变量代换作用,a1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用解题方法.,1-1 设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n= ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 D 解法一:由题意知Sn=na1+ d=n+n(n-1)=n2, 则Sn+2=(n+2)2, 因为Sn+2-Sn=36, 所以(n+2)2-n2=4n+4=36, 所以n=8. 解法二:由Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.所以 选D.,1-3 已知等差数列an中,a1=1,a3=-3. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列an的前k项和Sk=-35,求k的值. 解析 (1)设等差数列an的公差为d, 因为a1=1,a3=-3,所以1+2d=-3,解得d=-2,则an=1+(n-1)(-2)=3-2n(nN*).,考点二 等差数列的性质及其应用 典例2 (1)在等差数列an中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列an的前n项和,则 S11= ( ) A.18 B.99 C.198 D.297 (2)已知等差数列an的公差为2,项数是偶数,奇数项之和为15,偶数项之 和为25,则这个数列的项数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.40 (3)等差数列an的前m项和为30,前3m项和为90,则它的前2m项和为 . 答案 (1)B (2)A (3)60 解析 (1)因为a3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11= (a1,+a11)=11a6=99. (2)设这个数列有2n项,由等差数列的性质可知:偶数项之和减去奇数项 之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即数列的项数为10. (3)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, 可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m, 即S2m= = =60.,易错警示 一般地,运用等差数列的性质可以化繁为简、优化解题过程.但要注意 性质运用的条件,如m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,该性质的运用 条件是序号之和相等.,2-1 已知an,bn都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6= . 答案 21 解析 因为an,bn都是等差数列, 所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6, 所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6), 即215=9+(a5+b6), 解得a5+b6=21.,2-2 已知an为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21= . 答案 20 解析 由等差数列的性质,可知S3,S6-S3,S9-S6,S21-S18成等差数列,设此 数列的公差为D. 所以5+2D=10,所以D= . 所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.,考点三 等差数列的判定与证明 典例3 若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1= . (1)求证: 是等差数列; (2)求数列an的通项公式. 解析 (1)证明:当n2时,由an+2SnSn-1=0, 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,又易知Sn0,所以 - =2, 又 = =2,故 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)由(1)可得 =2n,Sn= .,当n2时,an=Sn-Sn-1= - = =- . 当n=1时,a1= 不适合上式. 故an=,方法指导 证明一个数列为等差数列的基本方法有两种:一是定义法,证明an-an-1=d (n2,d为常数);二是等差中项法,证明2an+1=an+an+2.若证明一个数列不是 等差数列,则可以举反例,也可以用反证法.,3-1 已知数列an中,a1=2,an=2- (n2,nN*),设bn= (nN*).求 证:数列bn是等差数列. 证明 an=2- , an+1=2- . bn+1-bn= - = - = =1, bn是首项为b1= =1,公差为1的等差数列.,考点四 等差数列的前n项和及其最值 典例4 在等差数列an中,a1=29,S10=S20,则数列an的前n项和中最大的 为 ( ) A.S15 B.S16 C.S15和S16 D.S17 答案 A 解析 S10=S20, 10a1+ d=20a1+ d, 又a1=29,d=-2, Sn=29n+ (-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225. 当n=15时,Sn取得最大值.,方法指导 处理等差数列前n项和的最值问题的常用方法 (1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项; (2)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数且A0)看作二次函数, 根据二次函数的性质求解.,变式4-1 若将本例中的条件“a1=29,S10=S20”改为“a10,S5=S12”,如何 求解? 解析 解法一:由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d, 即d=- a10. 所以Sn=na1+ d=na1+ ,=- a1(n2-17n)=- a1 + a1, 因为a10,nN*,所以当n=8或n=9时,Sn取得最大值. 解法二:同解法一得d=- a10. 设此数列的前k项和最大, 则 即 解得 即8k9,又kN*,所以k=8或9, 所以当n=8或n=9时,Sn取得最大值. 解法三:同解法一得d=- a10, 由于Sn=na1+ d= n2+ n, 设f(x)= x2+ x,则函数y=f(x)的图象为开口向下的抛物线, 由S5=S12知,抛物线的对称轴为x= = , 易知当1n8时,Sn单调递增;当n9时,Sn单调递减,且S8=S9,所以当n=8 或n=9时,Sn取得最大值.,变式4-2 若将本例中的条件“a1=29,S10=S20”改为“a3=12,S120,S13 0”,如何求解?,解析 因为a3=a1+2d=12,所以a1=12-2d, 因为 所以 解得- 0, 因此S6最大.,解法二:由d0可知an是递减数列, 令 可得 由- d-3,可得 所以5.5n7,故n=6, 由此可知S6最大.,
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