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文数 课标版,第五节 指数与指数函数,1.指数幂的概念 (1)根式的概念,教材研读,(2)两个重要公式 = ( )n= a (注意a必须使 有意义).,2.有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示 (i)正数的正分数指数幂: = (a0,m,nN*,n1). (ii)正数的负分数指数幂: = = (a0,m,nN*,n1). (iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 (i)aras= ar+s (a0,r,sQ).,(ii)(ar)s= ars (a0,r,sQ). (iii)(ab)r= arbr (a0,b0,rQ).,3.指数函数的图象与性质,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1) 与( )n都等于a(nN*). () (2)当nN*时,( )n总有意义. () (3)分数指数幂 可以理解为 个a相乘. () (4)函数y=32x与y=2x+1都不是指数函数. () (5)若am0且a1),则mn. (),1.计算(-2)6 -(-1)0的结果为 ( ) A.-9 B.7 C.-10 D.9,答案 B 原式= -1=23-1=7.故选B.,2.化简 (x0,y0)得 ( ) A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y 答案 D x0,y0,4 =(16x8y4 =1 (x8 (y4 =2x2|y|=-2x2y.,3.函数f(x)=3x+1的值域为 ( ) A.(-1,+) B.(1,+) C.(0,1) D.1,+) 答案 B 3x0,3x+11,即函数f(x)=3x+1的值域为(1,+).,4.函数f(x)=2|x-1|的大致图象是 ( ) 答案 B 当x1时, f(x)=2x-1;当x1时, f(x)=21-x,选B.,6.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为 . 答案 (2,3) 解析 f(x)=(a-2)x为减函数, 0a-21,即2a3.,考点一 指数幂的化简与求值 典例1 化简下列各式:,考点突破,(1) +2-2 -(0.01)0.5; (2) b-2(-3 b-1)(4 b-3 ; (3) . 解析 (1)原式=1+ - =1+ - =1+ - = . (2)原式=- b-3(4 b-3,=- b-3( ) =- =- =- . (3)原式= = = .,易错警示 (1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一化为分数指数幂,以便 利用法则计算,但应注意:必须同底数幂相乘,指数才能相加;运算的 先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算 结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.,1-1 +(0.002 -10( -2)-1+( - )0= . 答案 - 解析 原式= + - +1 = +50 -10( +2)+1 = +10 -10 -20+1=- .,1-2 = . 答案 a2 解析 原式= = ( -2 ) = a =a2.,考点二 指数函数的图象及应用 典例2 (1)函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的 是 ( ) A.a1,b1,b0 C.00 D.0a1,b0 (2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 . 答案 (1)D (2)-1,1,解析 (1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递 减,所以0a1. 函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax图象的基础上向左平移得到的,所以b0, 故选D. (2)作出曲线|y|=2x+1(如图),要使该曲线与直线y=b没有公共点,只需-1 b1.,方法技巧 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是 否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般 是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到 的.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指 数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结 合求解.,变式2-1 若将本例(2)中的条件改为若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公 共点,求b的取值范围. 解析 曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由图象可得,b的取值范围是(0, 1).,变式2-2 若将本例(2)改为函数y=|2x-1|在(-,k上单调递减,求k的取值 范围. 解析 因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-,0,所以k0,即k的取值 范围为(-,0.,考点三 指数函数的性质及应用 典例3 (2017福建南平模拟)已知a= ,b= ,c= ,则a、b、c的 大小关系是 ( ) A.cb= 1, 由指数函数y= 的性质及- 0可得c= 1, cba,故选D.,方法技巧 指数式值的大小比较的常见类型:同底不同指数;同指数不同底;底和指 数均不相同.指数式值的大小比较的常用方法:(1)化为相同指数或相同 底数后利用相应函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0或1 等).,3-1 (2015山东,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a0,且a1)的定义域和值域 都是-1,0,则a+b= . 答案 - 解析 当a1时, f(x)在-1,0上单调递增,则 无解. 当0a1时, f(x)在-1,0上单调递减,则 解得 a+b=- .,3-2 已知函数f(x)= . (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值3,求a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+),求a的值.,解析 (1)当a=-1时, f(x)= ,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-,-2)上 单调递增,在(-2,+)上单调递减,而y= 在R上单调递减,所以f(x)在(- ,-2)上单调递减,在(-2,+)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是 (-2,+),单调递减区间是(-,-2).,
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