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文数 课标版,第二节 导数与函数的单调性,函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f (x)0,则f(x)在这个区间内 单调递增 ; (2)若f (x)0,则f(x)在这个区间内 单调递减 ; (3)若f (x)=0,则f(x)在这个区间内是 常数函数 .,教材研读,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f (x)0. () (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f (x)=0,则f(x)在此区间内没有单调 性. () (3)在(a,b)内f (x)0且f (x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数. (),1.已知函数f(x)的导函数f (x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可能是 ( ),答案 D 由题图可知,当xx1时,由导函数f (x)=ax2+bx+c0知相应的函数f(x)在该区间上单 调递增.,3.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( ) A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+) 答案 D 由f(x)=(x-3)ex,得f (x)=(x-2)ex, 令f (x)0,得x2,故f(x)的单调递增区间是(2,+).,4.已知函数f(x)= -(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在R上为单调递增函数,则 实数m的取值范围是 . 答案 2,4,解析 f (x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,由题意可得f (x)0在xR 上恒成 立,所以=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7)=4(m2-6m+8)0,解得2m4.,考点一 利用导数判断(证明)函数的单调性 典例1 已知函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1. 讨论函数f(x)的单调性. 解析 f(x)的定义域为(0,+), f (x)= +2ax= . 当a1时, f (x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增; 当a0 时, f (x)0,故f(x)在 上单调递减,在 上单 调递增.,考点突破,方法技巧 用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: 求f (x). 确定f (x)在(a,b)内的符号. 作出结论:f (x)0时为增函数;f (x)0时为减函数. 提醒 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解 集的影响进行分类讨论.,1-1 (2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=- 处取得极值. (1)确定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性. 解析 (1)对f(x)求导得f (x)=3ax2+2x, 因为f(x)在x=- 处取得极值,所以f =0, 即3a +2 = - =0,解得a= . (2)由(1)得g(x)= ex, 故g(x)= ex+ ex = ex,= x(x+1)(x+4)ex. 令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4. 当x0,故g(x)为增函数; 当-10时,g(x)0,故g(x)为增函数. 综上,知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.,考点二 利用导数求函数的单调区间 典例2 已知函数f(x)= + -ln x- ,其中aR,且曲线y=f(x)在点(1, f(1) 处的切线垂直于直线y= x. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. 解析 (1)对f(x)求导得f (x)= - - ,由曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线 垂直于直线y= x,得f (1)=- -a=-2,解得a= . (2)由(1)知f(x)= + -ln x- ,则f (x)= , 令f (x)=0,解得x=-1或x=5.,因x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去. 当x(0,5)时, f (x)0, 故f(x)在(5,+)内为增函数. 故函数f(x)的单调增区间为(5,+),单调减区间为(0,5). 方法技巧 利用导数求函数单调区间的两个方法 方法一: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y=f (x); (3)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; (4)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.,方法二: (1)确定函数y=f(x)的定义域; (2)求导数y=f (x),令f (x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根 按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成 若干个小区间; (4)确定f (x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内 的单调性.,2-1 已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的 值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间. 解析 (1)f (x)=2ax,g(x)=3x2+b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,所以f(1)= g(1),且f (1)=g(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b. 解得a=3,b=3. (2)记h(x)=f(x)+g(x). 当a2=4b,即b= a2时,h(x)=x3+ax2+ a2x+1,则h(x)=3x2+2ax+ a2. 令h(x)=0,得x1=- ,x2=- . a0, h(x)与h(x)的情况如下:,函数h(x)的单调递增区间为 和 ;单调递减区间 为 .,考点三 利用导数解决函数单调性的应用问题 命题角度一 已知函数的单调性求参数的取值范围 典例3 已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在区间(1,+)上为增函数,求a的取值范围; (2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围; (3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值. 解析 (1)因为f (x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+)上为增函数,所以f (x)0 在(1,+)上恒成立,即3x2-a0在(1,+)上恒成立,所以a3x2在(1,+) 上恒成立,所以a3,即a的取值范围为(-,3. (2)由题意得f (x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,所以a3x2在(-1,1)上恒成 立.因为-1x1,所以3x23,所以a3.即当a的取值范围为3,+)时, f(x),在(-1,1)上为减函数. (3)由题意知a0.f(x)=x3-ax-1,f (x)=3x2-a.由f (x)=0,得x= ,f(x) 在区间(-1,1)上为单调递减函数, =1,即a=3.,典例4 (1)若0ln x2-ln x1 B. - x1 D.x2 x1 (2)已知函数f(x)(xR)满足f(1)=1,且f(x)的导数f (x) ,则不等式f(x2) + 的解集为 . 答案 (1)C (2)(-,-1)(1,+) 解析 (1)令f(x)= ,则f (x)= = . 当0x1时, f (x)0, 即f(x)在(0,1)上单调递减, 0x1x21,命题角度二 比较大小或解不等式,3-2 (2017山东临沂期中)已知f(x)是定义在(0,+)上的函数, f (x)是f(x) 的导函数,且总有f(x)xf (x),则不等式f(x)xf(1)的解集为 ( ) A.(-,0) B.(0,1) C.(0,+) D.(1,+) 答案 B 由题意,x0时, f(x)xf (x)xf (x)-f(x)0,f(x)xf(1) , 0x1.故选B.,
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