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第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程,【知识梳理】 1.表示直线方向的两个量 (1)直线的倾斜角: 定义:,相交,x轴,平行,重合,0,范围:0,). (2)直线的斜率: 定义:若直线的倾斜角不是90,则其斜率k=_; 计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴, 则k=_.,tan,2.两直线的平行、垂直与其斜率的关系,k1=k2,k1k2=-1,3.直线方程的五种形式,y-y1=k(x-x1),y=kx+b,Ax+By+C=0,(A2+B20),【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置; 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率; 当直线l1和l2斜率都存在时,若k1=k2,则l1l2; 在平面直角坐标系下,任何直线都有点斜式方程; 任何直线方程都能写成一般形式. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.正确.直线的倾斜角仅反映直线相对于x轴的倾斜程度,不能确定直线的位置.错误.当直线的倾斜角为90时,其斜率不存在.错误.当k1=k2时,两直线可能平行,也可能重合.错误.当直线与x轴垂直(斜率不存在)时,不能用点斜式方程表示.正确.无论依据哪种形式求解,最后直线方程都能写成一般形式.,2.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则参数m满足的条件是( ) A.m B.m0 C.m0且m1 D.m1 【解析】选D.由 得m=1, 故当m1时,方程表示一条直线.,3.斜率为2的直线经过A(3,5),B(a,7),C(-1,b)三点,则a,b的值分别为 和 . 【解析】由已知条件得 解得a=4; 解得b=-3. 答案:4 -3,4.若图中直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关系为 .,【解析】由斜率的定义及图象可知:k10,k30,再由正切函数的单调性知:k3k2,因此k1k3k2. 答案:k1k3k2,5.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= . 【思路点拨】利用直线与直线垂直的充要条件:A1A2+B1B2=0来列方程求解. 【解析】由12-2m=0可得m=1. 答案:1,考点1 直线的倾斜角与斜率 【典例1】(1)直线x+(a2+1)y+1=0(aR)的倾斜角的取值范围是( ) (2)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围为 .,【解题视点】(1)先求出斜率,再求倾斜角的范围. (2)先确定直线PA,PB的斜率,再数形结合求解;或先写出直线l的方程,再依据A,B两点在直线l的不同侧(或A,B之一在直线l上)求解.,【规范解答】 (1)选B.因为直线方程为x+(a2+1)y+1=0,所以直线的斜率 故k-1,0),由正切函数图象知倾斜角 (2)方法一:因为A(2,-3), B(-3,-2),P(1,1), 所以,如图所示:,因此,直线l的斜率k的取值范围为k-4或 或k不存在.,方法二:当直线l的斜率k不存在时,方程为x=1,此时符合题意; 当直线l的斜率k存在时,依题设知,直线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y+1-k=0, 若直线l与线段AB有交点,则A,B两点在直线l的异侧(或A,B之一在直线l上), 故(2k+4-k)(-3k+3-k)0,即(k+4)(4k-3)0,解得k-4或 综合可知:k-4或 或k不存在. 答案:k-4或 或k不存在,【互动探究】若本例(2)中的条件“直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点”改为“直线l过点P(1,1)且与线段AB没有交点”,则k的取值范围如何? 【解析】由本例(2)可知k的取值范围为,【规律方法】 1.已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤 (1)求出斜率k的取值范围(若斜率不存在,倾斜角为90). (2)利用正切函数的单调性,借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围.,2.直线的斜率k与倾斜角之间的关系,【变式训练】 1.直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(mR)两点,则直线l的倾斜角的取值范围是( ) 【解析】选C.直线l的斜率k=tan= 所以,2.直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值范围为 . 【解析】因为直线xsin+y+2=0的斜率k=-sin,所以 -1k1,当0k1时,直线倾斜角的范围为 当-1k0时,直线倾斜角的范围为 综上可知:该直线倾斜角的范围是 答案:,【加固训练】 1.已知直线l的倾斜角满足条件sin+cos= 则l的斜率 为( ),【解析】选C.由sin+cos= 得sincos= 因为00,cos0, 所以90180. 联立方程组 解得 所以tan=,2.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标 为(1,-1),则直线l的斜率为( ) 【解析】选B.依题意,可设P(x,1),Q(7,y),又因为线段PQ的中 点坐标为(1,-1),所以2=x+7,-2=1+y.解得x=-5,y=-3.所以 P(-5,1),Q(7,-3),直线l的斜率为,考点2 两条直线平行、垂直的关系 【典例2】(1)若直线l1:ax+2y-6=0与直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则a= . (2)(2014台州模拟)已知直线l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0垂直,则k的值是 .,【解题视点】(1)由两直线的斜率相等,在y轴上的截距不等即可求解. (2)由两直线垂直,则两直线的斜率之积等于-1或一条直线的斜率等于0,另一条直线的斜率不存在,求解;本题还可以利用A1A2+B1B2=0来解决.,【规范解答】(1)直线l1:ax+2y-6=0的斜率为 在y轴上的截 距为3.又因为直线l1与直线l2平行,所以直线l2:x+(a-1)y+a2- 1=0的斜率存在且等于 在y轴上的截距为-(a+1).由两直 线平行得, 且3-a-1,解得a=2或a=-1. 答案:2或-1,(2)方法一:当5-k=0,即k=5时,l1:2x+1=0;l2:4x-2y+3=0.此时l1 与l2不垂直. 当5-k0时,k1= k2=k-3,因为l1l2,所以 (k-3)=-1, 解得:k=1或k=4.综上可知k=1或k=4. 方法二:因为直线l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0与直线l2:2(k-3)x- 2y+3=0互相垂直, 所以(k-3)2(k-3)+(5-k)(-2)=0, 解上式得:k=1或k=4. 答案:1或4,【易错警示】由垂直求参数的易错点 两直线垂直时,两直线斜率的积等于-1或一条直线的斜率等于0,另一条直线的斜率不存在,解题时容易忽视第二种情况.,【规律方法】两直线平行、垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在: 两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; 两直线垂直两直线的斜率之积等于-1. 提醒:当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.,(2)已知两直线的一般方程: 两直线方程l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0中系数A1,B1,C1,A2,B2,C2与垂直、平行的关系: A1A2+B1B2=0l1l2; A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C10l1l2.,【变式训练】 1.直线l1的斜率为2,l1l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则点P的坐标为( ) A.(3,0) B.(-3,0) C.(0,-3) D.(0,3) 【解析】选D.因为l1l2,且l1的斜率为2,所以l2的斜率为2,又因为l2过点(-1,1),所以l2的方程为:y-1=2(x+1),即y=2x+3,令x=0得y=3,所以点P的坐标为(0,3).,2.已知直线l的倾斜角为 直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且 l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于( ) A.-4 B.-2 C.0 D.2 【解析】选B.依题意得l的斜率为-1,因为l1与l垂直,所以l1的 斜率为1,又因为直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),所以kAB= 解得:a=0.由直线l2与直线l1平行,得 b=-2,所 以a+b=-2.,【加固训练】 已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使 (1)l1与l2相交于点P(m,-1). (2)l1l2. (3)l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.,【解析】(1)由题意得 解得 即m=1,n=7时,l1与l2相交于点P(m,-1). (2)因为l1l2,所以 解得 或 即m=4,n-2或m=-4,n2时,l1l2. (3)当且仅当2m+8m=0,即m=0时,l1l2. 又因为- =-1,所以n=8. 即m=0,n=8时l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.,考点3 直线的方程 【考情】直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查, 考查直线方程的求法以及直线与它们的位置关系等. 【典例3】(1)(2014宁波模拟)已知直线l过点(-1,2)且与直 线 垂直,则直线l的方程是( ) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0,高频考点 通 关,(2)(2014舟山模拟)直线l经过点P(3,2),且与x,y轴的正半轴交于A(a,0),B(0,b)两点,当AOB的面积最小(O为坐标原点)时,求直线l的方程.,【解题视点】(1)由两直线垂直可设出所求直线方程,再由直线过点(-1,2)即可确定直线方程. (2)可设直线方程的截距式,由过点P(3,2)求出关于a,b的等式,利用基本不等式求解;也可以用a表示b,由面积解析式结合基本不等式求解.,【规范解答】(1)选A.设与直线 垂直的直线l的方程 为3x+2y+m=0.把点(-1,2)代入可得-3+4+m=0. 所以m=-1,故所求的直线方程为3x+2y-1=0. (2)方法一:设直线方程为 点P(3,2)代入得 得ab24. 从而 当且仅当 时等号成立,这时 则所求直线方程为2x+3y-12=0.,方法二:由题意设直线方程为 把点P(3,2)代入得 解得 则 当且仅当 即a=6时等号成立,这时b=4, 从而所求直线方程为 即2x+3y-12=0.,【通关锦囊】,【特别提醒】求直线方程时,要注意直线的斜率不存在的情况或斜率为零的情况.,【通关题组】 1.(2014温州模拟)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是( ) A.2x+y-2=0 B.x-2y+1=0 C.x-2y-1=0 D.2x+y-1=0 【解析】选A.因为所求直线与直线x-2y-2=0垂直,所以可设所求直线为2x+y+c=0,又因为直线过点(1,0),所以21+0+c=0, c=-2.因此,所求直线为2x+y-2=0.,2.(2014嘉兴模拟)已知A(-1,1),B(3,1),C(1,3),则ABC的边BC上的高所在直线方程为( ) A.x+y=0 B.x-y+2=0 C.x+y+2=0 D.x-y=0 【解析】选B.因为B(3,1),C(1,3), 所以 故BC边上的高所在直线的斜率k=1,又高线经过点A,所以其直线方程为x-y+2=0.,3.(2014杭州模拟)在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是( ),【解析】选C.直线y=ax的斜率与直线y=x+a在y轴上的截距同号,且y=x+a斜率为1,故选C.,4.(2014台州模拟)直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限,则a,b,c应满足( ) A.ab0,bc0,bc0 C.ab0 D.ab0,bc0,【解析】选A.直线方程变形为 如图,因为直线同时要经过第一、二、四象限, 所以 所以,5.(2014长沙模拟)已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点 P(x,y),则xy的最大值是 . 【解析】直线AB的方程为 则 所以 答案:3,【加固训练】 1.(2013兰州模拟)已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB的垂直 平分线的方程是x+2y-2=0,则实数m的值是( ) A.-2 B.-7 C.3 D.1 【解析】选C.由已知AB的垂直平分线方程为x+2y-2=0,所以 kAB=2,即 得m=3.,2.(2013银川模拟)经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为( ) Ax2y60 B2xy60 Cx2y70 Dx2y70,【解析】选B.设直线的方程为 则有 所以 当且仅当 即a=3,b=6时取“=”. 所以直线方程为2x+y-6=0.,3.(2013烟台模拟)直线Ax+By-1=0在y轴上的截距是-1,而且 它的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍,则( ) A. B=1 B. B=-1 C. B=-1 D. B=1 【解析】选B.将直线Ax+By-1=0化成斜截式 因为 所以B=-1,故排除A,D;设 的倾斜角为,则 所以=60.又所求直线的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍,故倾斜角为120,解得 排除C.,4.(2013贵阳模拟)已知射线l:y=4x(x1)和点M(6,4),在射线l上求一点N,使直线MN与l及x轴围成的三角形面积S最小.,【解析】设N(x0,4x0)(x01),则直线MN的方程为(4x0-4)(x-6) -(x0-6)(y-4)=0.令y=0得 所以S= 当且仅当 即x0=2时取 等号,所以当N为(2,8)时,三角形面积S最小.,【易错误区17】由直线位置关系求参数问题的易错点 【典例】(2013辽宁高考)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若OAB为直角三角形,则必有( ),【解析】选C.由题意,点O(0,0),A(0,b),B(a,a3)不能共线, 故a0.从而点B(a,a3)不在坐标轴上. 当点A(0,b)为直角顶点时，OAAB，此时b=a3； 当点B(a,a3)为直角顶点时，OBAB， 此时 由O(0,0)，A(0,b)，B(a,a3)得 =(a,a3), =(a,a3b), =a2+a3(a3b)=0，化简得 综上可知，b=a3或b=a3+ ，故(ba3)(ba3 )=0.,【误区警示】 1.处未考虑A,B哪个为直角顶点,只选择其一,未进行分类讨论,则会造成漏解. 2.处对以上的讨论分不清是“或”,还是“且”,易造成误选.,【规避策略】 1.对于三角形为直角三角形的问题,若直角不确定,应分情况依次讨论,最后求其并集即可. 2.在分类讨论求解,最后写出所有情况时,一定要依具体问题写出最后结果,注意是并集还是交集.,【类题试解】已知直线l1:3x+2ay-5=0,l2:(3a-1)x-ay-2=0,则 使l1l2的a的值为 . 【解析】当直线斜率均不存在,即a=0时,有l1:3x-5=0, l2:-x-2=0,符合l1l2; 当直线斜率存在时,因为l1l2,所以 解得: 综上可知:使l1l2的a的值为0或 答案:0或,【创新体验】以直线为载体的创新问题 【典例】(2013四川高考)设P1,P2,Pn为平面内的n个点,在平面内的所有点中,若点P到点P1,P2,Pn的距离之和最小,则称点P为点P1,P2,Pn的一个“中位点”.例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点.现有下列命题:,若三个点A,B,C共线,C在线AB上,则C是A,B,C的中位点; 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; 若四个点A,B,C,D共线,则它们的中位点存在且唯一; 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号),【审题视点】,【解析】根据“中位点”的定义可知:若A,B,C三个点共线,C在线AB上,则C是A,B,C的中位点,正确.直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点,错误.应该是直角三角形斜边上的高线的垂足.若四个点A,B,C,D共线,则它们的中位点存在但是并不唯一,故错误.梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点,正确. 答案:,【创新点拨】 1.高考考情:以直线为背景的新定义问题,是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高. 2.命题形式:常见的有新概念、新法则、新运算等.,【备考指导】 1.准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆. 2.方法选取:对于新定义问题,可结合特例法、筛选法等方法,并注意运用与直线有关知识求解,要注重培养学生领悟新信息的能力.,【新题快递】 在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是 (写出所有正确命题的编号). 存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; 如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点; 直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点; 直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数; 存在恰经过一个整点的直线.,【思路点拨】考查数形结合，空间想象能力，特例的取得与一 般性的检验.根据命题的特点选择合适的情形. 【解析】例如y= ；如y= 过整点(1，0)； 正确，可以验证；如y= 不经过无穷多个整点；如 直线y= x，只经过整点(0，0). 答案：,
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