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第五节 直线、平面垂直的判定及其性质,【知识梳理】 1.直线与平面垂直 (1)定义:直线l与平面内的_一条直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直.,任意,(2)判定定理与性质定理:,两条相交直线,平行,2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和_所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)范围: .,它在平面上的射影,3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念: 二面角:从一条直线出发的_所组成的图形叫做 二面角. 二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足, 在两个半平面内分别作_的两条射线,这两条射线所 构成的角叫做二面角的平面角. 二面角的范围:_.,两个半平面,垂直于棱,(2)平面和平面垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角 是_,就说这两个平面互相垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:,直二面角,垂线,交线,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 直线l不可能和两个相交平面都垂直; 当时,直线l过内一点且与交线垂直,则l; 异面直线所成的角与二面角的取值范围均为 二面角是指两个相交平面构成的图形; 若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.正确.否则两个平面应平行. 错误.当该点是交线上的点时,l与不一定垂直. 错误.异面直线所成角的范围是 而二面角的范围是0,. 错误.二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 错误.若平面平面,则平面内的直线l与可平行,可相交,也可在平面内.,2.下列条件中,能判定直线l平面的是( ) A.l与平面内的两条直线垂直 B.l与平面内无数条直线垂直 C.l与平面内的某一条直线垂直 D.l与平面内任意一条直线垂直 【解析】选D.由直线与平面垂直的定义,可知D正确.,3.已知如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六 边形,PA平面ABC.则下列结论不正确的是 ( ) A.CD平面PAF B.DF平面PAF C.CF平面PAB D.CF平面PAD,【解析】选D.A中,因为CDAF,AF平面PAF,CD平面PAF,所以CD平面PAF成立; B中,因为ABCDEF为正六边形,所以DFAF. 又因为PA平面ABCDEF,所以PADF,又因为PAAF=A,所以DF平面PAF成立; C中,因为CFAB,AB平面PAB,CF平面PAB, 所以CF平面PAB; 而D中CF与AD不垂直,故选D.,4.直线a平面,b,则a与b的位置关系是 . 【解析】由b可得b平行于内的一条直线,设为b.因为a,所以ab,从而ab,但a与b可能相交,也可能异面. 答案:垂直(相交垂直或异面垂直),5.将正方形ABCD沿AC折成直二面角后,DAB= . 【解析】如图,取AC的中点O,连接DO,BO,BD, 则DOAC,BOAC,故DOB为二面角的平面 角,从而DOB=90.设正方形边长为1,则 DO=BO= ,所以DB=1,故ADB为等边三角形,所以DAB=60. 答案:60,考点1 有关垂直关系的判断 【典例1】(1)(2013新课标全国卷)已知m,n为异面直线, m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则( ) A.且l B.且l C.与相交,且交线垂直于l D.与相交,且交线平行于l,(2)(2013广东高考)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若,m,n,则mn B.若,m,n,则mn C.若mn,m,n,则 D.若m,mn,n,则,【解题视点】(1)作出与直线m,n平行的直线,证明平面,相交,然后可证交线与直线l平行. (2)利用面面平行与垂直的判定与性质进行判断.,【规范解答】(1)选D.因为m,n为异面直线,m平面, n平面.所以,相交(否则m,n为平行直线). 设=l, 则lm,ln, 过空间一点P作mm,nn. 则m,n可确定平面. 由题意知:l,l. 所以ll.,(2)选D.对于选项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能,但未必垂直;对于选项B,分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项C,两个平面分别经过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项D,m,mn,则n;又因为n,则内存在与n平行的直线l,因为n,则l,由于l,l,所以.,【规律方法】空间垂直关系的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准、甚至无需作图在头脑中形成印象来判断. (2)寻找反例,只要存在反例,那么结论就不正确. (3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.,【变式训练】(2014衡水模拟)设l是直线,是两个不同的平面( ) A.若l,l,则 B.若l,l,则 C.若,l,则l D.若,l,则l 【解析】选B.对于A,若l,l,则,可能相交;对于B,若l,则平面内必存在一直线m与l平行,则m,又m,故.选项C,l可能平行于或l在平面内;选项D,l还可能平行于或在平面内.,【加固训练】 1.如果直线l,m与平面,满足:=l,l,m且m,那么必有( ) A.且lm B.且 C.且m D.m且lm 【解析】选A.m且m,则;m且l,则lm.,2.(2013杭州模拟)设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分条件是( ) A.ac,bc B.,a,b C.a,b D.a,b 【解析】选C.对于选项C,在平面内存在cb,因为a,所以ac,故ab;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出ab.,考点2 线面垂直的判定和性质 【考情】线面垂直的判定和性质的应用是高考立体几何的命题热点.试题以解答题形式出现,主要考查利用判定定理及性质定理证明线线垂直、线面垂直等问题,常与线面平行、线线平行问题、体积问题交汇出现,试题难度不大,易得分.,高频考点 通 关,【典例2】(1)已知ABCD为矩形,PA平面ABCD,下列判断中正确的是( ) A.ABPC B.AC平面PBD C.BC平面PAB D.平面PBC平面PDC,(2)(2013重庆高考)如图,四棱锥P-ABCD 中,PA底面ABCD,PA=2 ,BC=CD=2, ACB=ACD= 求证:BD平面PAC; 若侧棱PC上的点F满足PF=7FC, 求三棱锥P-BDF的体积.,【解题视点】(1)画出图形,结合图形判断选项的正误. (2)由BC=CD及ACB=ACD证明BDAC,再由PA底面ABCD, 得PABD.直接利用线面垂直的判定定理证明; 利用VP-BCD= SBCDPA,VF-BCD= SBCD PA,VP-BDF= VP-BCD-VF-BCD,可求解三棱锥的体积.,【规范解答】(1)选C.由题意画出几何体 的图形,如图,显然ABPC不正确;AC不垂 直PO,所以AC平面PBD不正确;BCAB, PA平面ABCD,PABC,PAAB=A, 所以BC平面PAB,正确.,(2)因BC=CD,即BCD为等腰三角形,又ACB=ACD,故BDAC. 因为PA底面ABCD,所以PABD. 从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD平面PAC.,三棱锥P-BCD的底面BCD的面积 由PA底面ABCD，得 由PF=7FC,得三棱锥F -BCD的高为 故 所以,【通关锦囊】,【特别提醒】在证明线面垂直时,一定要严格按照定理要求,不要忽视“平面中的两条相交直线”这个条件.,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014台州模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,点M在边CD上,点F在边AB上,且DFAM,垂足为E,若将ADM沿AM折起,使点D位于D位置,连接DB,DC得四棱锥D-ABCM.,(1)求证:AMDF. (2)若DEF= ,直线DF与平面ABCM所成角的大小为 , 求直线AD与平面ABCM所成角的正弦值.,【解析】(1)因为AMDE,AMEF, 又因为DE,EF是平面DEF内两条相交直线, 所以AM平面DEF,所以AMDF. (2)由(1)知AM平面DEF, 所以平面DEF平面ABCM,且DEF= , 所以过D作平面ABCM的垂线,垂足H必在EF上, 所以DFE是DF与平面ABCM所成角. 因为DEF= ,且DFE= , 所以DEF是等边三角形,因为DE=EF即DE=EF,所以DAF是等腰直角三角形, 设AD=2,所以AF=2,且EF= , 所以四棱锥D-ABCM的高DH= . 设直线AD与平面ABCM所成角为,则sin= 所以直线AD与平面ABCM所成角的正弦值为,2.(2013广东高考)如图，在边长为1的等边ABC中，D,E分 别是AB,AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G， 将ABF沿AF折起，得到如图所示的三棱锥A-BCF，其中 (1)证明：DE平面BCF. (2)证明：CF平面ABF. (3)当 时，求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG,【解析】(1)在等边ABC中，AD=AE，所以 在折叠后 的三棱锥A-BCF中也成立，所以DEBC.因为DE平面BCF， BC平面BCF，所以DE平面BCF. (2)在等边ABC中，F是BC的中点， 所以AFFC， 因为在三棱锥A-BCF中， 所以BC2=BF2+CF2,CFBF. 因为BFAF=F，所以CF平面ABF.,(3)由(1)可知GECF，结合(2)可得GE平面DFG.,【加固训练】1.(2014韶关模拟)已知ABC的三边长分别为AB=5,BC=4,AC=3,M是AB边上的点,P是平面ABC外一点. 给出下列四个命题: 若PA平面ABC,则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形; 若PM平面ABC,且M是AB边的中点,则有PA=PB=PC; 若PC=5,PC平面ABC,则PCM面积的最小值为 ;,若PC=5,P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心,则点P 到平面ABC的距离为 . 其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号 都填上),【解析】由题知ACBC,对于,若PA平面ABC,则PABC, 又知PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCPC,因此该三棱锥 P-ABC的四个面均为直角三角形,正确;对于,由已知得M为 ABC的外心,所以MA=MB=MC.因为PM平面ABC,则PMMA, PMMB,PMMC,由三角形全等可知PA=PB=PC,故正确;对于 ,要使PCM的面积最小,只需CM最短,在RtABC中,(CM)min,= ,所以(SPCM)min= 5=6,故错误;对于,设P点在 平面ABC内的射影为O,且O为ABC的内心,由平面几何知识得内 切圆半径为r=1,且OC= ,在RtPOC中,PO= 所以点P到平面ABC的距离为 ,故正确. 答案:,2.(2014郑州模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，ABAA1，CAB (1)证明：CB1BA1. (2)已知AB2， 求三棱锥C1-ABA1的体积,【解析】(1)如图所示，连接AB1. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， CAB 所以AC平面ABB1A1， 故ACBA1. 又因为ABAA1， 所以四边形ABB1A1是正方形，所以BA1AB1. 又CAAB1A， 所以BA1平面CAB1，故CB1BA1.,(2)因为ABAA12，BC 所以ACA1C11. 由(1)知，A1C1平面ABA1， 所以,3.如图(1),在RtABC中,C=90,D,E分别为AC,AB的中点, 点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使 A1FCD,如图(2).,(1)求证:DE平面A1CB. (2)求证:A1FBE. (3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?说明理由. 【解析】(1)因为D,E分别为AC,AB的中点, 所以DEBC. 又因为DE平面A1CB,BC平面A1CB, 所以DE平面A1CB.,(2)由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC. 所以DEA1D,DECD,A1DCD=D, 所以DE平面A1DC. 而A1F平面A1DC,所以DEA1F. 又因为A1FCD,且DECD=D,所以A1F平面BCDE, 所以A1FBE.,(3)线段A1B上存在点Q,使A1C平面DEQ. 理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQBC. 又因为DEBC, 所以DEPQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知,DE平面A1DC, 所以DEA1C.,又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点, 所以A1CDP.又DEDP=D, 所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q,使得A1C平面DEQ.,考点3 面面垂直的判定和性质 【典例3】(2013山东高考)如图,四棱锥 P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD, E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点. (1)求证:CE平面PAD. (2)求证:平面EFG平面EMN.,【解题视点】(1)本题考查线面平行的证法,可利用线线平行,也可利用面面平行来证明线面平行. (2)本题考查了面面垂直的判定,在平面EMN中找一条直线MN,确定MN平面EFG即可.,【规范解答】(1)方法一:取PA的中点H,连接EH,DH. 因为E为PB的中点, 所以EHAB,EH= AB. 又ABCD,CD= AB, 所以EHCD,EH=CD. 因此四边形DCEH是平行四边形. 所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD, 因此CE平面PAD .,方法二:连接CF.因为F为AB的中点, 所以AF= AB.又CD = AB,所以AF=CD. 又AFCD,所以四边形AFCD为平行四边形. 因此CFAD. 又CF平面PAD,AD平面PAD,所以CF平面PAD. 因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又EF平面PAD,AP平面PAD, 所以EF平面PAD.因为CFEF=F,故平面CEF平面PAD. 又CE平面CEF,所以CE平面PAD.,(2)因为E,F分别为PB,AB的中点, 所以EFPA.又ABPA . 所以ABEF . 同理可证ABFG. 又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG, 因此AB平面EFG,又M,N分别为PD,PC的中点, 所以MNCD .又ABCD, 所以MNAB, 因此MN平面EFG,又MN平面EMN, 所以平面EFG平面EMN.,【易错警示】关注面面垂直的条件 本例中(2)证明平面EFG平面EMN,要关注平面与平面垂直判定定理的两个条件,即MN平面EFG,又MN平面EMN,避免步骤不全导致失误.,【互动探究】若本例条件不变,证明:平面EMN平面PAC. 【证明】因为E,F为PB,AB的中点,则EFPA, 又因为G为BC的中点,则GFAC,而GFEF=F,PACA=A,所以平面EFG平面PAC. 因为平面EFG平面EMN. 所以平面EMN平面PAC.,【规律方法】面面垂直的证明方法 (1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线线垂直加以解决.,提醒:两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.运用时要注意“平面内的直线”.,【变式训练】在如图所示的几何体中,四边形 ABCD是正方形,MA平面ABCD,PDMA,E,G,F 分别为MB,PB,PC的中点,且AD=PD=2MA. (1)求证:平面EFG平面PDC. (2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.,【解析】(1)由已知MA平面ABCD,PDMA, 得PD平面ABCD. 又BC平面ABCD,所以PDBC. 因为四边形ABCD为正方形, 所以BCDC. 又PDDC=D,因此BC平面PDC. 在PBC中,因为G,F分别为PB,PC的中点, 所以GFBC,因此GF平面PDC. 又GF平面EFG,所以平面EFG平面PDC.,(2)因为PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA1， 则PDAD2， 所以 由于DA平面MAB，且PDMA， 所以DA即为点P到平面MAB的距离， 所以VP-MABVP-ABCD14.,【加固训练】 1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD 平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分别 是AP,AD的中点. 求证:(1)直线EF平面PCD. (2)平面BEF平面PAD.,【证明】(1)在PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点, 所以EFPD. 又因为EF平面PCD,PD平面PCD, 所以直线EF平面PCD.,(2)连接BD.因为AB=AD,BAD=60, 所以ABD为正三角形. 因为F是AD的中点,所以BFAD. 因为平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD,所以BF平面PAD. 又因为BF平面BEF. 所以平面BEF平面PAD.,2.如图,在ABC中,ABC=45,BAC=90,AD是BC上的高,沿AD把ABD折起,使BDC=90. (1)证明:平面ADB平面BDC. (2)若BD=1,求三棱锥D-ABC的表面积.,【解析】(1)因为折起前AD是BC边上的高, 所以当ABD折起后,ADDC,ADDB, 又DBDC=D,所以AD平面BDC, 又因为AD平面ADB. 所以平面ADB平面BDC.,(2)由(1)知，DADB,DBDC,DCDA, 因为DB=DA=DC=1， 所以AB=BC=CA= ABC=60，,3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 为菱形,BAD=60,Q为AD的中点. (1)若PA=PD,求证:平面PQB平面PAD. (2)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定t的 值,使PA平面MQB.,【解析】(1)如图,连接BD,因为四边形ABCD为菱形, BAD=60, 所以ABD为正三角形. 又因为Q为AD的中点, 所以ADBQ. 因为PA =PD,Q为AD的中点,所以ADPQ. 又BQPQ=Q,所以AD平面PQB. 又AD平面PAD, 所以平面PQB平面PAD.,(2)当 时，PA平面MQB. 连接AC交BQ于点N，连接MN. 由AQBC可得，ANQCNB，所以 因为PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMN， 所以PAMN. 所以 即 所以,考点4 线面角与二面角的求法 【典例4】(2014宁波模拟)如图所示,三棱 柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且 侧棱垂直于底面,侧棱长是 ,D是AC的中点. (1)求证:B1C平面A1BD. (2)求二面角A1-BD-A的大小. (3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值.,【解题视点】(1)三棱柱的侧面是矩形,对角线A1B,AB1的交点与点D的连线平行于B1C.(2)由于三棱柱的底面是正三角形,D为AC的中点,由侧面与底面垂直,可以得到BD平面ACC1A1,BD A1D,A1DA就是二面角的平面角.(3)根据(2)得平面A1BD平面A1AD,只要过点A作A1D的垂线即可得到点A在平面A1BD内的射影,即得到了线面角.,【规范解答】(1)设AB1与A1B相交于点P,连接PD,则P为AB1的中点,因为D为AC的中点,所以PDB1C. 又因为PD平面A1BD,B1C平面A1BD,所以B1C平面A1BD.,(2)由题知,平面ACC1A1平面ABC, 平面ACC1A1平面ABC=AC,又因为BDAC,则BD平面ACC1A1,所以BDA1D,所以A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角. 因为 则 即二面角A1-BD-A的大小是,(3)作AMA1D于M.由(2)，易知BD平面ACC1A1， 因为AM平面ACC1A1，所以BDAM. 因为A1DBD=D，所以AM平面A1BD. 连接MP，易知APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角. 因为AA1= ，AD=1，所以在RtAA1D中，A1DA= ， 所以AM=1sin 60= 所以sinAPM= 所以直线AB1与平面A1BD所成 的角的正弦值为 .,【规律方法】 1.求空间角的三个步骤 (1)找:根据图形找出相关的线面角或二面角. (2)证:证明找出的角即为所求的角. (3)算:根据题目中的数据,通过解三角形求出所求角. 2.空间角的求法 (1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,作出垂线,确定垂足.,(2)二面角的求法: 直接法:根据概念直接作,如二面角的棱是两 个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中点; 垂线法:如图,过二面角的一个半平面内一点 A作另一个半平面的垂线,再从垂足B向二面角 的棱作垂线,垂足为C,这样二面角的棱就垂直于 这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角的棱垂直,ACB就是二面角的平面角或其补角.,【变式训练】(2014海口模拟)如图,在 四棱锥P-ABCD中,ADBC,ABAD,ABPA, BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB平面ABCD, (1)求证:平面PED平面PAC. (2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ,求二面角 A-PC-D的平面角的余弦值.,【解析】(1)如图所示,取AD的中点F, 连接BF,则FD BE, 所以四边形FBED是平行四边形,所以 FBED. 因为RtBAF和RtCBA中, 所以RtBAFRtCBA,易知BFAC,所以EDAC.,又因为平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,ABPA, 所以PA平面ABCD,ED平面ABCD, 所以PAED,因为PAAC=A, 所以ED平面PAC,因为ED平面PED, 所以平面PED平面PAC.,(2)设ED交AC于G，连接PG， 则EPG是直线PE与平面PAC所成的角.设BE=1， 由AGDCGE，知 因为AB=AD=2,所以 因为sinEPG= 所以PE=3,AE= ,PA= 作GHPC于H，连接HD，由PCDE,PC平面HDG， 所以PCHD，所以GHD是二面角A-PC-D的平面角.,因为PCAGCH,所以 则 得cosGHD= ,即二面角A-PC-D的平面角的余弦值为,【加固训练】 1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ( ),【解析】选D.BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所 成的角,在三棱锥D-ACD1中,由三条侧棱两两垂直得点D在底 面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的中心H,连接D1H,DH,则 DD1H为DD1与平面ACD1所成的角,设正方体棱长为a,则 cosDD1H=,2.在三棱锥P-ABC中,PC,AC,BC两两垂直, BC=PC=1,AC=2,E,F,G分别是AB,AC,AP的 中点. (1)证明:平面GFE平面PCB. (2)求二面角B-AP-C的正切值.,【解析】(1)因为G,E,F分别为AP,AB,AC的中点,所以GFPC,EFBC, 又GF平面PBC,EF平面PBC, PC平面PBC,BC平面PBC, 所以GF平面PBC,EF平面PBC, 又GFEF=F,所以平面GFE平面PCB.,(2)过C作CHAP交AP于点H,连接BH, 因为PC,AC,BC两两垂直,所以BC平面APC, 所以BCAP,又CHBC=C,所以AP平面BHC, 所以APBH,所以CHB就是二面角B-AP-C的平面角. 在RtPAC中,CH= 在RtBHC中,tanCHB= 故二面角B-AP-C的正切值为 .,3.(2014哈尔滨模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD,ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC，CD的中点，DE=EC. (1)求证：平面ABE平面BEF. (2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成 锐二面角 求a的取值范围.,【解析】(1)因为ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,F为CD的中点， 所以四边形ABFD为矩形，ABBF. 因为DE=EC，所以DCEF,又ABCD,所以ABEF. 因为BFEF=F,所以AB平面BEF，AB平面ABE， 所以平面ABE平面BEF.,(2)连AC交BF于点K,连接AF,四边 形ABCF为平行四边形,所以K为AC 的中点,连EK,则EKPA,EK平 面ABCD,BDEK,作KHBD于H点, 所以BD平面EKH,连EH,则BDEH,EHK即为. 在RtEHK中， 解得,【规范解答9】垂直关系的证明与求解 【典例】(14分)(2013浙江高考改编) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD, AB=BC=2,AD=CD= ,PA= ,ABC=120, G为线段PC上的点. (1)证明:BD平面PAC. (2)若G为PC的中点,求DG的长. (3)若G满足PC平面BGD,求 的值.,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤,水到渠成 (1)设点O为AC，BD的交点， 由AB=BC,AD=CD，得BD是线段AC的中垂线. 所以O为AC的中点，BDAC. 2分 又因为PA平面ABCD，BD平面ABCD， 所以PABD. 又ACPA=A， 所以BD平面PAC. 4分,(2)连接OG，由(1)可知 OD平面PAC，因为OG平面PAC, 所以ODOG, 由题意得 在ABC中，AC= 6分 所以 在RtOCD中， 在RtOGD中， 9分,(3)因为PC平面BGD，OG平面BGD， 所以PCOG， 在RtPAC中，得 因为GOCAPC，所以 , 12分 所以 从而 所以 14分,【点题】失分警示,规避误区,【变题】变式训练,能力迁移 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD, ABCD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点, 且DF= AB,PH为PAD中AD边上的高. (1)证明:PH平面ABCD. (2)若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积. (3)证明:EF平面PAB.,【解析】(1)AB平面PAD，PH平面PADPHAB， 又PHAD,AD，AB平面ABCD， ADAB=APH平面ABCD. (2)E是PB的中点点E到平面BCF的距离 所以三棱锥E-BCF的体积,(3)取PA的中点为G，连接DG,EG. PD=ADDGPA， 又AB平面PAD，AB平面PAB平面PAD平面PAB， 又平面PAD平面PAB=PA， DG平面PADDG平面PAB， 点E,G是棱PB,PA的中点EG AB， 又DF ABEG DFDGEF， 得：EF平面PAB.,
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