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常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),( n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义3,2.微分方程的解（几何意义）：,转化,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第七章,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节 齐次方程,内容小结,1. 微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2. 可分离变量方程的求解方法:,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,解;,阶;,通解;,特解,y = x 及 y = C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3 .齐次方程的求解方法:,令,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ),2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ),3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ),(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.,3. 解微分方程应用题的方法和步骤,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,该定理易让我们想起 线性代数中的 一阶非齐次线性方程 组的解的结构定理。,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可降阶高阶微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,第七章,解法：降阶,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,既不含未知函数y,也不含未知函数的导数,解法: 连续积分n次 ，便得通解。,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即含自变量x, 不含未知函数y,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即含有未知函数y, 不含自变量x,内容小结,可降阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.,例6,例7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n 阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,为二阶线性微分方程.,例1,例2, 可归结为同一形式:,时, 称为非齐次方程 ;,时, 称为齐次方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是不是所给二阶方程的通解？,问题：,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解！,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,(证明略),线性无关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,复习 目录 上页 下页 返回 结束,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*四、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程的通解:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1. 已知对应齐次方程通解:,设的解为,由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,于是,将以上结果代入方程 :,得,故, 的系数行列式,P10 目录 上页 下页 返回 结束,积分得:,代入 即得非齐次方程的通解:,于是得,说明:,将的解设为,只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一,个条件,方程的引入是为了简化计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,情形2.,仅知的齐次方程的一个非零特解,代入 化简得,设其通解为,积分得,(一阶线性方程),由此得原方程的通解:,代入 目录 上页 下页 返回 结束,常系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第七章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,时, 有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 当,时, 特征方程有一对共轭复根,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这时原方程有两个复数解（欧拉公式 ),小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广: n阶常系数齐次线性方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于n次代数方程有n个根，而每个根对应着通解中 的一项，且每一项各含一个任意常数。将上表中各对应 项相加，就得到n阶微分方程的通解。,小结: 解法,内容小结,特征根:,(1) 当,时, 通解为,(2) 当,时, 通解为,(3) 当,时, 通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,求方程,的通解 .,答案:,通解为,通解为,通解为,作业 P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3,第九节 目录 上页 下页 返回 结束,常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八节,一、,二、,第七章,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据 f (x) 的两种特殊形式 ,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,简例,二、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步 将 f (x) 转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一步,利用欧拉公式将 f (x) 变形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式两边取共轭 :,为方程 的特解 .,设,则 有,特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :,原方程,均为 m 次多项式 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式 .,本质上为实函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小 结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结, 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,则设特解为,3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 . (填空) 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十节,欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,第十二章,欧拉方程的算子解法:,则,计算繁!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 如何解下述微分方程,提示:,原方程,直接令,作业 P319 2 ; 6; 8,第11节 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一节,微分方程的幂级数解法,一、一阶微分方程问题,二、二阶齐次线性微分方程问题,微分方程解法:,积分法, 只能解一些特殊类型方程,幂级数法, 本节介绍,数值解法, 计算数学内容,本节内容:,第十二章,一、一阶微分方程问题,幂级数解法:,将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数,由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.,设所求解为,本质上是待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常系数线性微分方程组,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*第十二节,解法举例,解方程组,高阶方程求解,消元,代入法,算子法,第十一章,常系数线性微分方程组解法步骤:,第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个 函数的高阶方程 ;,第二步 求出此高阶方程的未知函数 ;,第三步 把求出的函数代入原方程组 ,注意: 一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数 = 未知函数个数,一般通过求导,得其它未知函数 .,如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数,的关系.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,解微分方程组,解:,由得,代入, 化简得,特征方程:,通解:,将代入, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原方程通解:,注意:,1) 不能由式求 y,因为那将引入新的任意常数,(它们受式制约).,3) 若求方程组满足初始条件,的特解,只需代入通解确定,即可.,2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、全微分方程,二、积分因子法,第十二章,判别:,P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1. 求原函数 u (x, y),2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .,一、全微分方程,则称,为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、积分因子法,思考: 如何解方程,这不是一个全微分方程 ,就化成例2 的方程 .,使,为全微分方程,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,若存在连续可微函数,积分因子.,例2 目录 上页 下页 返回 结束,常用微分倒推公式:,积分因子不一定唯一 .,例如, 对,可取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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