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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 必修1,函数应用,第四章,第四章,1 函数与方程,1.1 利用函数的性质 判定方程解的存在,二次函数是我们很熟悉的一类函数，以前我们曾研究过其图像与性质，请大家画几个函数的图像(画草图即可)：(1)yx22x3；(2)yx22x1；(3)yx22x3.画完以后，请说出你能知道的知识如果我们把二次函数与其相关的方程：x22x30，x22x10，x22x30放在一起观察，又会有什么发现呢？你能再找几个函数与相应的方程看看我们的想法是否正确吗？,1.函数的零点 我们把函数yf(x)的图像与横轴的交点的_称为这个函数的零点 2零点存在定理 一般地，如果函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且有_，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个c(a，b)，使得f(c)_.这个c就是方程f(x)0的解,横坐标,f(a)f(b)0,0,3二次函数零点与二次方程实根个数的关系,1.函数f(x)x23x4的零点是( ) A1，4 B4，1 C1,3 D不存在 答案 B 解析 令x23x40，解得x4或1， 零点为4，1.,答案 D 解析 由f(x)0知f(x)不存在零点,3函数f(x)lnx1的零点所在的大致区间为( ) A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 答案 B 解析 因为在给出的区间中，只有f(2)f(3)0，而在其余区间两个端点处的函数值均同号,4二次函数yax2bxc中，ac0，所以二次函数与x轴有两个交点，故函数有两个零点,5若f(x)x|x|2，则yf(x)的零点个数为_ 答案 1,求函数的零点,规律总结 1.函数零点的求法：解方程f(x)0，所得实数解就是f(x)的零点解三次以上的高次方程时，一般需要因式分解 2对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图像联系起来，图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点,答案 D 解析 函数不存在零点即函数不与x轴相交或方程无实根对选项A，有两个零点1或1，对选项B，因为(1)242(1)90， 有两个零点， 对选项C，有两个零点1和1，只有D无零点.,函数的零点与方程根的关系,已知函数f(x)axb有一个零点是2，求g(x)bx2ax的零点 思路分析 先由f(x)的零点求a，b的关系，再求g(x)的零点,规律总结 1.函数yf(x)的零点就是对应方程f(x)0的根 2二次函数的零点与一元二次方程的实根的关系如下表：,求函数yx37x6的零点 解析 x37x6(x3x)(6x6) x(x21)6(x1) x(x1)(x1)6(x1) (x1)(x2x6) (x1)(x2)(x3)， 由x37x60即(x1)(x2)(x3)0得x13，x21，x32. 函数yx37x6的零点为3,1,2.,函数零点个数的判断,判断函数f(x)x3lnx的零点的个数 思路分析 构造函数ylnx和函数yx3，从而将原问题转化为判断这两个函数图像交点的个数问题也可利用函数的单调性借助函数零点的存在性定理来判断,规范解答 解法1：在同一平面直角坐标系中画出函数ylnx，yx3的图像，如图所示 由图可知函数ylnx，yx3的图像只有一个交点，即函数f(x)x3lnx只有一个零点,规律总结 判断函数零点的个数的方法主要有： (1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数 (2)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系下作出y1g(x)和y2h(x)的图像，利用图像判定方程根的个数,函数零点的性质,规律总结 这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法；只要判断区间a，b的端点值的乘积是否有f(a)f(b)0，并且看函数f(x)的图像在a，b上是否是连续曲线即可 解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用零点的性质依次检验所提供的区间，即可得到答案,方程(x1)(x2)(x3)x0的一个实数根所在的大致区间不可能是( ) A3，2 B2，1 C0,2 D2,4 答案 D 解析 设f(x)(x1)(x2)(x3)x，则其图像是连续曲线，又知f(3)30，所以f(x)在3，2内有零点，即原方程在3，2内有实数解，同理原方程在2，1，0,2内也必有实数解，而在区间2,4上恒有f(x)0，所以f(x)在2,4内没有零点故选D.,函数零点的应用,若函数yax2x1只有一个零点，求实数a的取值范围 思路分析 由分类讨论思想分为a0，a0两种情况分别对一次函数，二次函数加以判断,若函数f(x)x22xa的两个零点中一个大于1，另一个小于1，那么实数a的取值范围是_ 答案 a3 解析 依题意，由图像可知f(1)3.,关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围,规律总结 解决此类问题首先应将方程问题转化为函数图像问题，然后列不等式(组)求解，若二次项系数含有参数，需对系数分大于0和小于0两种情况分类讨论,
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