振动力学(梁的横向振动).ppt

上传人:xt****7 文档编号:1788516 上传时间:2019-11-06 格式:PPT 页数:49 大小:579KB
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资源描述
,振动力学,-弹性体的振动,梁的横向振动,仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生,并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。,1、运动微分方程,在梁的主平面上取坐标xoz,原点位于梁的左端截面的形心,x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中,轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。,取微段梁dx,截面上的弯矩与剪力为M和Q,其正负号的规定和材料力学一样。,则微段梁dx沿z方向的运动方程为:,即,利用材料力学中的关系,得到梁的弯曲振动方程,边界条件,和一维波动方程一样,要使弯曲振动微分方程成为定解问题,必需给出边界条件和初始条件。 梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。 (1)固定端:挠度和转角为0,即,(2)简支端:挠度和弯矩为0,即,(3)自由端:弯矩和剪力为0,即,其它边界条件用类似的方法给出。,2、梁弯曲自由振动的解,令振动方程中的干扰力为0,得到,对于均匀梁,振动方程为,其中,假定有分离变量形式的解存在,令,代入方程得到,写为,则有,其中,(称为特征方程),方程的通解为,由特征方程,利用边界条件即可求出振型函数F(x)和频率方程,进一步确定系统的固有频率wi。用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。,【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。,代入特征方程的解,以及,解:边界条件为挠度和弯矩为0。,得到,以及,则,则,以及频率方程,由此解得,所以固有频率,振型为,第i阶振型有i1个节点。节点坐标,即,【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。,代入特征方程的解得到,以及,解:边界条件为挠度和转角为0,即,化简后得到频率方程,求得,求出b后得到固有频率,振型为,【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。,解:左端的边界条件为挠度和转角为0,解:左端的边界条件为挠度和转角为0,右端的边界条件:弯矩为0,剪力等于弹性力,代入特征方程的解,以及,进一步化简后得到频率方程,求出b后得到固有频率,振型为,将边界条件代入得到,求得,讨论: (1)k0时,频率方程变为,即为悬臂梁的情况。,(2)k趋于无穷大时,频率方程变为,或,即为左端固定,右端简支的情况。,【思考题】 证明图示悬臂梁在xl处的边界条件为:,关于振型函数的正交性,和一维波动方程振型函数的正交性类似。第i阶特征值满足,考虑边界条件为简支、自由、固定的情况,梁端点的位移、弯矩或剪力为0,则,对第j阶振型进行上面类似的运算得:,用Fj左乘上式两端,并积分,上两式相减得,则,ij时,梁在激励力作用下的响应,和一维波动方程一样,用振型叠加法求响应,1. 标准坐标(正则坐标) 对振型函数按下式条件正则化,2. 对初始激励的响应 设初始条件为,将其按标准振型展开,用rAFj左乘上两式,并积分得,标准坐标下的初始激励响应,物理坐标下的响应,响应求解步骤: (1)根据边界条件求解固有频率和固有振型; (2)利用标准化条件确定振型中的常数因子; (3)将初始条件变换到标准坐标; (4)求标准坐标下的响应; (5)求物理坐标下的响应。,【例4】长为l的均匀简支梁初始静止,设在xx1处的微段d上有初始速度v,求系统对此初始条件的响应。,解: (1)固有频率与相应的固有振型为,(2)由正规化条件 确定系数Ci,求得,所以,(3)初始条件。按题意,变换到主坐标下,3. 对外激励的响应 (1)分布干扰力 设干扰力密度为f(x,t), 和前面杆的外激励受迫振动响应推动方法一样。利用标准化振型函数Fi,得到标准坐标下的解耦方程,利用杜哈美积分得,(4)响应,总响应为,(2)集中力 设在xx1处受集中力F(t), 这时可以用函数表示为分布形式:F(x,t)dx (x-x1), 方程变为,总响应为,(3)集中力偶(不推导,只给出结果) 设在xx1处受集中力M(t), 这时有,总响应为,强迫振动的响应求解步骤: (1)根据边界条件求解固有频率和固有振型; (2)利用正规化条件确定振型中的常数因子; (3)求主坐标下的响应; (4)求广义坐标下的响应。,解:(1)固有频率与相应的固有振型为,(2)由正规化条件 确定系数Ci,【例5】设长为l的简支梁在xa处受集中力Fsint作用, 求响应。,求得,(3)响应,【例6】火车在很长的桥梁上通过,可以简化为一均匀筒支梁受到以等速率v向右运动的荷重P的作用。假设在初始时刻荷重位于梁的左端,试求强迫振动的响应。,解:(1)均匀简支梁的固有频率与相应的固有振型为,(2)和前面一样由正规化条件确定系数Ci得到,(3)干扰力密度可表为,(4)主坐标下的响应,其中,(5)广义坐标下的响应,固有频率的结构特性,系统参数的变化与增加约束对固有频率的影响: (1)增大刚度、增加约束,固有频率提高; (2)增大质量,固有频率降低; (3)在某阶固有振型取值最大的地方增大质量,能最有效地降低该阶固有频率; (4)在某阶振型曲线曲率最大的地方增大刚度,能最有效地提高该阶固有频率。,
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