安徽省黄山市2016届九年级上期末数学试卷含答案解析.doc

2015-2016学年安徽省黄山市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）ABCD2下列说法中正确的是（）A“打开电视机，正在播放动物世界”是必然事件B某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，一定有一张中奖C抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查3如图，在O中，弦AC半径OB，BOC=50，则OAB的度数为（）A25B50C60D304如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与O相切于E，F，G三点，过点D作O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）ABC D25若关于x的一元二次方程x22x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）ABCD6若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A6cmB9cmC12cmD18cm7如果一个正多边形的中心角为72，那么这个多边形的边数是（）A4B5C6D78已知2是关于x的方程x22mx+3m=0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则ABC的周长为（）A10B14C10或14D8或109将抛物线y=（x1）2+3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为（）Ay=（x2）2By=x2Cy=x2+6Dy=（x2）2+610如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2x11，0x21，下列结论：4a2b+c0；2ab0；a+c1；b2+8a4ac，其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是122016年6月底，九年级学生即将毕业，好朋友甲、乙、丙三人决定站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是13二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为14如图，RtABC中，C=90、A=30，在AC边上取点O画圆，使O经过A、B两点，下列结论正确的序号是（多填或错填得0分，少填酌情给分）AO=2CO；AO=BC；以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；延长BC交O与D，则A、B、D是O的三等分点三、解答题（共9小题，满分90分）15解方程（1）2x2+3x+1=0（2）（3x+1）2=9x+316如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是网格线的交点）（1）先将ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到A1B1C1，请画出A1B1C1；（2）将A1B1C1绕B1点顺时针旋转90，得A2B1C2，请画出A2B1C2；（3）求（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长（结果保留）17某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元18如图，四边形ABCD内接于O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC（1）若CBD=39，求BAD的度数；（2）求证：1=219国务院办公厅在2015年3月16日发布了中国足球发展改革总体方案，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）获得一等奖的学生人数；（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率20某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=2x+240设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？21如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径作半圆O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE（1）求证：DE是半圆O的切线（2）若BAC=30，DE=2，求AD的长22如图，已知PA、PB切O于A、B两点，连AB，且PA，PB的长是方程x22mx+3=0的两根，AB=m试求：（1）O的半径；（2）由PA，PB，围成图形（即阴影部分）的面积23如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，求抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴x=1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为该抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标（提示：若平面直角坐标系内两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ=）2015-2016学年安徽省黄山市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）ABCD【考点】中心对称图形【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解【解答】解：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转180后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形故选：B【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心2下列说法中正确的是（）A“打开电视机，正在播放动物世界”是必然事件B某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，一定有一张中奖C抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为D想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件；概率公式【分析】根据随机事件，可判断A；根据概率的意义，可判断B、C；根据调查方式，可判断D【解答】解：A、“打开电视机，正在播放动物世界”是随机事件，故A错误；B、某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为，故C错误；D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故D正确；故选：D【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，正确区分全面调查与抽样调查是解题关键，注意概率时事件发生可能性的大小，并不一定发生3如图，在O中，弦AC半径OB，BOC=50，则OAB的度数为（）A25B50C60D30【考点】圆周角定理；平行线的性质【分析】由圆周角定理求得BAC=25，由ACOB，BAC=B=25，由等边对等角得出OAB=B=25，即可求得答案【解答】解：BOC=2BAC，BOC=50，BAC=25，ACOB，BAC=B=25，OA=OB，OAB=B=25，故选：A【点评】此题考查了圆周角定理以及平行线的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用4如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与O相切于E，F，G三点，过点D作O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）ABC D2【考点】切线的性质；矩形的性质【专题】压轴题【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到A=B=90，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分别与O相切于E，F，G三点得到AEO=AFO=OFB=BGO=90，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，A=B=90，CD=AB=4，AD，AB，BC分别与O相切于E，F，G三点，AEO=AFO=OFB=BGO=90，四边形AFOE，FBGO是正方形，AF=BF=AE=BG=2，DE=3，DM是O的切线，DN=DE=3，MN=MG，CM=52MN=3MN，在RtDMC中，DM2=CD2+CM2，（3+NM）2=（3NM）2+42，NM=，DM=3=，故选A【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键5若关于x的一元二次方程x22x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）ABCD【考点】根的判别式；一次函数的图象【分析】根据一元二次方程x22x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可【解答】解：x22x+kb+1=0有两个不相等的实数根，=44（kb+1）0，解得kb0，Ak0，b0，即kb0，故A不正确；Bk0，b0，即kb0，故B正确；Ck0，b0，即kb0，故C不正确；Dk0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：B【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根6若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A6cmB9cmC12cmD18cm【考点】圆锥的计算【分析】利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2即为圆锥的底面半径【解答】解：圆锥的弧长为： =24，圆锥的底面半径为242=12，故选C【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；7如果一个正多边形的中心角为72，那么这个多边形的边数是（）A4B5C6D7【考点】多边形内角与外角【分析】根据正多边形的中心角和为360和正多边形的中心角相等，列式计算即可【解答】解：这个多边形的边数是36072=5，故选：B【点评】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和为360和正多边形的中心角相等是解题的关键8已知2是关于x的方程x22mx+3m=0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则ABC的周长为（）A10B14C10或14D8或10【考点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程求出m的值，得到原方程为x28x+12=0，再解此方程得到x1=2，x2=6，然后根据三角形三边的关系得到ABC的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长【解答】解：2是关于x的方程x22mx+3m=0的一个根，把x=2代入方程整理得：44m+3m=0，解得m=4，原方程为：x28x+12=0，方程的两个根分别是2，6，又等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，若2是等腰三角形ABC的腰长，则2+2=46构不成三角形，等腰三角形ABC的腰长为6，底边长为2，三角形ABC的周长为：6+6+2=14，故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根也考查了三角形三边的关系9将抛物线y=（x1）2+3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为（）Ay=（x2）2By=x2Cy=x2+6Dy=（x2）2+6【考点】二次函数图象与几何变换【专题】几何变换【分析】先确定抛物线y=（x1）2+3的顶点坐标为（1，3），再利用点平移的规律得到点（1，3）平移后对应点的坐标为（2，6），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式【解答】解：抛物线y=（x1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得对应点的坐标为（2，6），所以新抛物线的表达式为y=（x2）2+6故选D【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式10如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2x11，0x21，下列结论：4a2b+c0；2ab0；a+c1；b2+8a4ac，其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【考点】二次函数图象与系数的关系【专题】数形结合【分析】将x=2代入y=ax2+bx+c，可以结合图象得出x=2时，y0；由抛物线开口向下，可得a0；由图象知抛物线的对称轴大于1，则有x=1，即可得出2ab0；已知抛物线经过（1，2），即ab+c=2（1），由图象知：当x=1时，y0，即a+b+c0（2），联立（1）（2），可得a+c1；由抛物线的对称轴大于1，可知抛物线的顶点纵坐标应该大于2，结合顶点的纵坐标与a0，可以得到b2+8a4ac【解答】解：由函数的图象可得：当x=2时，y0，即y=4a2b+c0，故正确；由函数的图象可知：抛物线开口向下，则a0；抛物线的对称轴大于1，即x=1，得出2ab0，故正确；已知抛物线经过（1，2），即ab+c=2（1），由图象知：当x=1时，y0，即a+b+c0（2），联立（1）（2），得：a+c1，故正确；由于抛物线的对称轴大于1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：2，由于a0，所以4acb28a，即b2+8a4ac，故正确，故选D【点评】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a0）中，a的符号由抛物线的开口方向决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定；b的符号由对称轴的位置与a的符号决定；抛物线与x轴的交点个数决定根的判别式的符号，此外还要注意二次函数图象上的一些特殊点二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是a1且a0【考点】根的判别式【分析】先根据关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根得出0，a0，求出a的取值范围即可【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，解得a1且a0故答案为：a1且a0【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac的关系是解答此题的关键122016年6月底，九年级学生即将毕业，好朋友甲、乙、丙三人决定站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是【考点】列表法与树状图法【专题】计算题【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲、乙二人相邻的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中甲、乙二人相邻的结果数为4种，所以甲、乙二人相邻的概率=故答案为【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率13二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为3【考点】抛物线与x轴的交点【分析】先根据抛物线的开口向上可知a0，由顶点纵坐标为3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可【解答】解：抛物线的开口向上，顶点纵坐标为3，a0=3，即b2=12a，一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，=b24am0，即12a4am0，即124m0，解得m3，m的最大值为3，故答案为3【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键14如图，RtABC中，C=90、A=30，在AC边上取点O画圆，使O经过A、B两点，下列结论正确的序号是（多填或错填得0分，少填酌情给分）AO=2CO；AO=BC；以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；延长BC交O与D，则A、B、D是O的三等分点【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理【专题】计算题；压轴题【分析】连接OB，可得ABO=30，则OBC=30，根据直角三角形的性质得OC=OB=OA，再根据三角函数cosOBC=，则BC=OB，因为点O在ABC的角平分线上，所以点O到直线AB的距离等于OC的长，根据垂径定理得直线AC是弦BD的垂直平分线，则点A、B、D将O的三等分【解答】解：连接OB，OA=OB，A=ABO，C=90，A=30，ABC=60，OBC=30，OC=OB=OA，即OA=2OC，故正确；cosOBC=，BC=OB，即BC=OA，故错误；ABO=OBC=30，点O在ABC的角平分线上，点O到直线AB的距离等于OC的长，即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；故正确；延长BC交O于D，ACBD，AD=AB，ABD为等边三角形，=，点A、B、D将O的三等分故正确故答案为【点评】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理和垂径定理，是基础知识要熟练掌握三、解答题（共9小题，满分90分）15解方程（1）2x2+3x+1=0（2）（3x+1）2=9x+3【考点】解一元二次方程-因式分解法【专题】计算题【分析】（1）方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可【解答】解：（1）分解因式得：（2x+1）（x+1）=0，可得2x+1=0或x+1=0，解得：x1=0.5，x2=1；（2）方程整理得：（3x+1）23（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+13）=0，可得3x+1=0或3x2=0，解得：x1=，x2=【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键16如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是网格线的交点）（1）先将ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到A1B1C1，请画出A1B1C1；（2）将A1B1C1绕B1点顺时针旋转90，得A2B1C2，请画出A2B1C2；（3）求（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长（结果保留）【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；作图-平移变换【专题】计算题；作图题【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，即可得到A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、C1的对应点A2、C2，即可得到A2B1C2；（3）根据弧长公式计算【解答】解：（1）如图，A1B1C1为所作；（2）如图，A2B1C2为所作；（3）（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长=【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了弧长公式和平移变换17某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解（2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费【解答】解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）2万元则2500（1+x）2=3025，解得x=0.1=10%，或x=2.1（不合题意舍去）答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%（2）3025（1+10%）=3327.5（万元）故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量（1+年平均增长率）年数=增长后的量18如图，四边形ABCD内接于O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC（1）若CBD=39，求BAD的度数；（2）求证：1=2【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系【专题】计算题【分析】（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到CBD=CDB=39，再根据圆周角定理得BAC=CDB=39，CAD=CBD=39，所以BAD=BAC+CAD=78；（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得CEB=CBE，再利用三角形外角性质得CEB=2+BAE，则2+BAE=1+CBD，加上BAE=CBD，所以1=2【解答】（1）解：BC=DC，CBD=CDB=39，BAC=CDB=39，CAD=CBD=39，BAD=BAC+CAD=39+39=78；（2）证明：EC=BC，CEB=CBE，而CEB=2+BAE，CBE=1+CBD，2+BAE=1+CBD，BAE=BDC=CBD，1=2【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等腰三角形的性质19国务院办公厅在2015年3月16日发布了中国足球发展改革总体方案，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）获得一等奖的学生人数；（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率【考点】列表法与树状图法；扇形统计图【分析】（1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数；（2）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可【解答】解：（1）三等奖所在扇形的圆心角为90，三等奖所占的百分比为25%，三等奖为50人，总人数为5025%=200人，一等奖的学生人数为200（120%25%40%）=30人；（2）列表：ABCDAABACADBBABCBDCCACBCDDDADBDC共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，P（选中A、B）=【点评】本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解，难度不大20某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=2x+240设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？【考点】二次函数的应用【分析】（1）因为y=（x50）w，w=2x+240故y与x的关系式为y=2x2+340x12000（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可（3）令y=2250时，求出x的解即可【解答】解：（1）y=（x50）w=（x50）（2x+240）=2x2+340x12000，y与x的关系式为：y=2x2+340x12000 （2）y=2x2+340x12000=2（x85）2+2450当x=85时，y的值最大（3）当y=2250时，可得方程2（x85）2+2450=2250解这个方程，得x1=75，x2=95根据题意，x2=95不合题意应舍去当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元【点评】本题考查的是二次函数的实际应用求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法21如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径作半圆O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE（1）求证：DE是半圆O的切线（2）若BAC=30，DE=2，求AD的长【考点】切线的判定【专题】证明题【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证；（2）在直角三角形ABC中，由BAC=30，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由C=60，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由ACCD即可求出AD的长【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，AB为圆O的直径，ADB=BDC=90，在RtBDC中，E为斜边BC的中点，DE=BE，在OBE和ODE中，OBEODE（SSS），ODE=ABC=90，则DE为圆O的切线；（2）在RtABC中，BAC=30，BC=AC，BC=2DE=4，AC=8，又C=60，DE=CE，DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=ACDC=6【点评】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键22如图，已知PA、PB切O于A、B两点，连AB，且PA，PB的长是方程x22mx+3=0的两根，AB=m试求：（1）O的半径；（2）由PA，PB，围成图形（即阴影部分）的面积【考点】切线的性质；根的判别式；切割线定理；扇形面积的计算【分析】用切线的性质及根的判别式求出m的值即AB的长，代入原方程得出两根即PA、PB的长，因AB=PA=PB，ABP为等边三角形，APB=60，则APO=30，再用正切公式求出OA的长及圆的半径用正切求出OP的长，四边形的度数和求出AOB的度数，再求出AOB和APB的面积和，减去扇形OAB的面积即为所求【解答】解：（1）连OA，OB，PA=PB，=（2m）243=0，m2=3，m0，m=，x22x+3=0，x1=x2=，PA=PB=AB=，ABP等边三角形，APB=60，APO=30，PA=，OA=1；（2）AOP=60，AOB=120，S阴=S四边形OAPBS扇形OAB=2SAOPS扇形OAB=21，=【点评】考查根的判别式，切线的性质，定理及组合图形面积23如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，求抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴x=1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为该抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标（提示：若平面直角坐标系内两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ=）【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据A和B关于x=1对称即可求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）求得BC与对称轴的交点就是M；（3）设P的坐标是（1，p），利用两点之间的距离公式表示出BC、BP和PC的长，然后分成BPC的三边分别是斜边三种情况讨论，利用勾股定理列方程求得p的值，得到P的坐标【解答】解：（1）A（1，0）关于x=1的对称点是（3，0），则B的坐标是（3，0）根据题意得：，解得：，则抛物线的解析式是y=x+3；根据题意得：，解得：则抛物线的解析式是y=x22x+3；（2）在y=x+3中令x=1，则y=1+3=2，则M的坐标是（1，2）；（3）设P的坐标是（1，p）则BP2=（1+3）2+p2=4+p2PC=（0+1）2+（3p）2=p26p+10BC=32+32=18当BC时斜边时，BP2+PC2=BC2，则（4+p2）+（p26p+10）=18，解得：p=1或2，则P的坐标是（1，1）或（1，2）；当BP是斜边时，BP2=PC2+BC2，则4+p2=（p26p+10）+18，解得：p=4，则P的坐标是（1，4）；当PC是斜边时，PC2=BP2+BC2，则p26p+10=4+p2+18，解得：p=2，则P的坐标是（1，2）总之，P的坐标是（1，1）或（1，2）或（1，4）或（1，2）【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及对称的性质和勾股定理，正确利用p表示出BPC的边BP和PC的长是关键2016年3月6日第25页（共25页）