北京市石景山区2016届高三上期末数学试卷(理)含答案解析.doc

2015-2016学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，则MN=（）A1B2C0，1D1，22若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A0B2C3D43如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A2B2C1D14已知数列an是等差数列，a3=8，a4=4，则前n项和Sn中最大的是（）AS3BS4或S5CS5或S6DS65“ab=4”是“直线2x+ay1=0与直线bx+2y2=0平行”的（）A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件6若曲线y2=2px（p0）上只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为（）A4B3C2D17如图，点O为正方体ABCDABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的各个面上的投影不可能是（）ABCD8如图，在等腰梯形ABCD中，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得面BEFC面ADFE，若动点P平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为1，2（1，2均不为0）若1=2，则动点P的轨迹为（）A直线B椭圆C圆D抛物线二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在复平面内，复数对应的点到原点的距离为10的二项展开式中x项的系数为（用数字作答）11在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60，则cosB=12在极坐标系中，设曲线=2和cos=1相交于点A，B，则|AB|=132位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是种（用数字作答）14股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为元，能够成交的股数为卖家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数200400500100买家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数600300300100三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数f（x）=2x，xR（）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（）求函数f（x）在上的最大值与最小值16某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图所示根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良（）写出这组数据的众数和中位数；（）将频率视为概率根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望17在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2（）求证：BE平面PAD；（）求证：BC平面PBD；（）在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角QBDP为45？若存在，求的值；若不存在，请述明理由18已知函数f（x）=x1+（aR，e为自然对数的底数）（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求a的值；（）求函数f（x）的极值；（）当a=1的值时，若直线l：y=kx1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值19已知椭圆C：（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（）求椭圆C的标准方程；（）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OM经过线段PQ的中点N（其中O为坐标原点）20给定一个数列an，在这个数列里，任取m（m3，mN*）项，并且不改变它们在数列an中的先后次序，得到的数列an的一个m阶子数列已知数列an的通项公式为an=（nN*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列an的一个3子阶数列（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，bm是an的一个m（m3，mN*）阶子数列，且b1=（k为常数，kN*，k2），求证：mk+1（3）等比数列c1，c2，cm是an的一个m（m3，mN*）阶子数列，求证：c1+c1+cm22015-2016学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，则MN=（）A1B2C0，1D1，2【考点】交集及其运算【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论【解答】解：N=x|x23x+20=x|（x1）（x2）0=x|1x2，MN=1，2，故选：D2若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A0B2C3D4【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4故选：D3如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A2B2C1D1【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时满足条件i4，退出循环，输出S的值为2【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1不满足条件i4，不满足条件i是偶数，S=1，i=2不满足条件i4，满足条件i是偶数，S=1，i=3不满足条件i4，不满足条件i是偶数，S=2，i=4不满足条件i4，满足条件i是偶数，S=2，i=5满足条件i4，退出循环，输出S的值为2故选：A4已知数列an是等差数列，a3=8，a4=4，则前n项和Sn中最大的是（）AS3BS4或S5CS5或S6DS6【考点】等差数列的前n项和【分析】由an是等差数列，a3=8，a4=4，解得a1=16，d=4故Sn=2n2+18n=2（n）2+由此能求出结果【解答】解：an是等差数列，a3=8，a4=4，解得a1=16，d=4Sn=16n+=2n2+18n=2（n）2+当n=4或n=5时，Sn取最大值故选B5“ab=4”是“直线2x+ay1=0与直线bx+2y2=0平行”的（）A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】两条直线平行的判定【分析】本题考查线线平行关系公式的利用，注意2条线是否重合【解答】解：两直线平行斜率相等即可得ab=4，又因为不能重合，当a=1，b=4时，满足ab=4，但是重合，所以选C6若曲线y2=2px（p0）上只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为（）A4B3C2D1【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的性质求出p即可【解答】解：因为抛物线关于抛物线的轴对称，所以抛物线顶点到焦点的距离唯一，可得，p=2故选：C7如图，点O为正方体ABCDABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的各个面上的投影不可能是（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据平行投影的特点和正方体的性质，得到分别从正方体三个不同的角度来观察正方体，得到三个不同的投影图，逐个检验，得到结果【解答】解：由题意知光线从上向下照射，得到C，光线从前向后照射，得到A，光线从左向右照射得到B，故空间四边形DOEF在该正方体的各个面上的投影不可能是D，故选：D8如图，在等腰梯形ABCD中，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得面BEFC面ADFE，若动点P平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为1，2（1，2均不为0）若1=2，则动点P的轨迹为（）A直线B椭圆C圆D抛物线【考点】轨迹方程【分析】先确定PE=PF，再以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，求出轨迹方程，即可得出结论【解答】解：由题意，PE=BEcot1，PF=CFcot2，BE=CF，1=2，PE=PF以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，设E（a，0），F（a，0），P（x，y），则（x+a）2+y2= （xa）2+y2，3x2+3y2+10ax+3a2=0，轨迹为圆故选：C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在复平面内，复数对应的点到原点的距离为【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数，求出其在复平面内的对应点的坐标，利用两点间的距离公式求得复数对应的点到原点的距离【解答】解：复数=1+i，其对应点的坐标为（1，1），该点到原点的距离等于=，故答案为10的二项展开式中x项的系数为5（用数字作答）【考点】二项式定理的应用【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x项的系数【解答】解：的二项展开式的通项公式为 Tr+1=（1）r，令=1，求得r=1，可得展开式中x项的系数为=5，故答案为：511在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60，则cosB=【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可得，可求sinB，然后结合大边对大角及同角平方关系即可求解【解答】解：a=15，b=10，A=60由正弦定理可得，sinB=abABB为锐角cosB=故答案为：12在极坐标系中，设曲线=2和cos=1相交于点A，B，则|AB|=2【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】由=2，得x2+y2=4，由cos=1，得x=1，由此联立方程组能求出交点A、B，由此能求出|AB|【解答】解：=2，x2+y2=4，cos=1，x=1，联立，得或，A（1，），B（1，），|AB|=2故答案为：2132位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是72种（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用【分析】把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，问题得以解决【解答】解：把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有A32A22A32=72种，故答案为：7214股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为2.2元，能够成交的股数为600卖家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数200400500100买家意向价（元）2.12.22.32.4意向股数600300300100【考点】函数模型的选择与应用【分析】分别计算出开盘价为2.1、2.2、2.3、2.4元买家意向股数及卖家意向股数，进而比较即得结论【解答】解：依题意，当开盘价为2.1元时，买家意向股数为600+300+300+100=1300，卖家意向股数为200，此时能够成交的股数为200；当开盘价为2.2元时，买家意向股数为300+300+100=700，卖家意向股数为200+400=600，此时能够成交的股数为600；当开盘价为2.3元时，买家意向股数为300+100=400，卖家意向股数为200+400+500=1100，此时能够成交的股数为400；当开盘价为2.4元时，买家意向股数为100，卖家意向股数为200+400+500+100=1200，此时能够成交的股数为100；故答案为：2.2，600三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15已知函数f（x）=2x，xR（）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（）求函数f（x）在上的最大值与最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】（）先化简函数可得f（x）=，即可求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（）由定义域根据正弦函数的单调性即可求出函数f（x）在上的最大值与最小值【解答】解： =（）f（x）的最小正周期为令，解得，所以函数f（x）的单调增区间为（）因为，所以，所以，于是，所以0f（x）1当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0当且仅当，即时最大值16某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图所示根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良（）写出这组数据的众数和中位数；（）将频率视为概率根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩“优良”的学生人数，求的分布列及期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式【分析】（）利用茎叶图能求出这组数据的众数，中位数（）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为，由此得到从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为，从而能求出“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是优良”的概率（）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和E【解答】解：（）这组数据的众数为86，中位数为86（）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为，设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是优良的事件”为A，则P（A）=1=1=（）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，所以的分布列为0123PE=17在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2（）求证：BE平面PAD；（）求证：BC平面PBD；（）在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角QBDP为45？若存在，求的值；若不存在，请述明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（）取CD中点F，连结EF，BF，则EFPD，ABDF，从而BFAD，进而平面PAD平面BEF，由此能证明BE平面PAD（）推导出BCPD，BCBD，由此能证明BC平面PBD（）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PC上存在Q（0，2，2），使得二面角QBDP为45，=【解答】证明：（）取CD中点F，连结EF，BF，E为PC中点，AB=AD=PD=1，CD=2，EFPD，ABDF，四边形ABFD是平行四边形，BFAD，EFBF=F，ADPD=D，BF、EF平面BEF，AD、PD平面ADP，平面PAD平面BEF，BE平面BEF，BE平面PAD（）在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，PD底面ABCD，BCPD，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2，BD=BC=，BD2+BC2=CD2，BCBD，PDBD=D，BC平面PBD解：（）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0），设Q（0，b，c），=（1，1，0），=（0，0，1），=（0，b，c），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面BDQ的法向量=（x1，y1，z1），则，取x1=1，得=（1，1，），二面角QBDP为45，cos45=，解得=，Q（0，c），解得c=2，Q（0，2，2），=在线段PC上存在Q（0，2，2），使得二面角QBDP为45，=18已知函数f（x）=x1+（aR，e为自然对数的底数）（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求a的值；（）求函数f（x）的极值；（）当a=1的值时，若直线l：y=kx1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）依题意，f（1）=0，从而可求得a的值；（）f（x）=1，分a0时a0讨论，可知f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，从而可求其极值；（）令g（x）=f（x）（kx1）=（1k）x+，则直线l：y=kx1与曲线y=f（x）没有公共点方程g（x）=0在R上没有实数解，分k1与k1讨论即可得答案【解答】解：（）由f（x）=x1+，得f（x）=1，又曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，f（1）=0，即1=0，解得a=e（）f（x）=1，当a0时，f（x）0，f（x）为（，+）上的增函数，所以f（x）无极值；当a0时，令f（x）=0，得ex=a，x=lna，x（，lna），f（x）0；x（lna，+），f（x）0；f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值综上，当a0时，f（x）无极值；当a0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值（）当a=1时，f（x）=x1+，令g（x）=f（x）（kx1）=（1k）x+，则直线l：y=kx1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解假设k1，此时g（0）=10，g（）=1+0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k1又k=1时，g（x）=0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，所以k的最大值为119已知椭圆C：（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（）求椭圆C的标准方程；（）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OM经过线段PQ的中点N（其中O为坐标原点）【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（I）由椭圆C的焦距为4，及等边三角形的性质和a2=b2+c2，求得a，b，即可求椭圆C的标准方程；（）设M（3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），kMF=m，设直线PQ的方程为x=my2，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证【解答】解：（）由题意可得c=2，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得a=2b，即有a=b，a2b2=4，解得a=，b=，则椭圆方程为+=1；（）证明：设M（3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），kMF=m，由F（2，0），可设直线PQ的方程为x=my2，代入椭圆方程可得（m2+3）y24my2=0，即有y1+y2=，y1y2=，于是N（，），则直线ON的斜率kON=，又kOM=，可得kOM=kON，则O，N，M三点共线，即有OM经过线段PQ的中点20给定一个数列an，在这个数列里，任取m（m3，mN*）项，并且不改变它们在数列an中的先后次序，得到的数列an的一个m阶子数列已知数列an的通项公式为an=（nN*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列an的一个3子阶数列（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，bm是an的一个m（m3，mN*）阶子数列，且b1=（k为常数，kN*，k2），求证：mk+1（3）等比数列c1，c2，cm是an的一个m（m3，mN*）阶子数列，求证：c1+c1+cm2【考点】数列的求和；等差数列的性质【分析】（1）利用等差数列的定义及其性质即可得出；（2）设等差数列b1，b2，bm的公差为d由b1=，可得b2，再利用等差数列的通项公式及其不等式的性质即可证明；（3）设c1= （tN*），等比数列c1，c2，cm的公比为q由c2，可得q=从而cn=c1qn1（1nm，nN*）再利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出【解答】（1）解：a2，a3，a6成等差数列，a2a3=a3a6又a2=，a3=，a6=，代入得=，解得a=0（2）证明：设等差数列b1，b2，bm的公差为db1=，b2，从而d=b2b1=bm=b1+（m1）d又bm0，0即m1k+1mk+2又m，kN*，mk+1（3）证明：设c1= （tN*），等比数列c1，c2，cm的公比为qc2，q=从而cn=c1qn1（1nm，nN*）c1+c2+cm+=，设函数f（x）=x，（m3，mN*）当x（0，+）时，函数f（x）=x为单调增函数当tN*，12f（）2即 c1+c2+cm22016年8月21日第20页（共20页）